Question

1．如图，平面直角坐标系中，△ABC为等边三角形，其中点A、B、C的坐标分别为（-3，-1）、（-3，-3）、（-3+$\sqrt{3}$，-2）．现以y轴为对称轴作△ABC的对称图形，得△A₁B₁C₁，再以x轴为对称轴作△A₁B₁C₁的对称图形，得△A₂B₂C₂．
①直接写出点C₁的坐标（3-$\sqrt{3}$，-2），点C₂的坐标（3-$\sqrt{3}$，2）；
②能否通过一次旋转将△ABC旋转到△A₂B₂C₂的位置？你若认为能，请作出肯定的回答，并直接写出所旋转的度数；你若认为不能，请作出否定的回答（不必说明理由）；
③设当△ABC的位置发生变化时，△A₂B₂C₂、△A₁B₁C₁、△ABC之间的对称关系始终保持不变，当△ABC向上平移多少个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合？并直接写出此时点C的坐标？

Answer 1

分析 ①根据关于y轴对称的点的坐标特征写出C₁点的坐标，然后根据关于x轴对称的点的坐标特征写出点C₂的坐标；
②由于△ABC与△A₁B₁C₁关于y轴对称，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于x轴对称，则△ABC与△A₂B₂C₂关于原点中心对称，于是根据中心对称的定义可判断旋转的度数；
③由于△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂关于x轴对称，而A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，则△A₁B₁C₁是关于x轴的轴对称图形，所以△ABC也是关于x轴的轴对称图形，于是点C要平移到x轴，从而得到△ABC平移的距离．

解答 解：①点C₁的坐标为（3-$\sqrt{3}$，-2），点C₂的坐标为（3-$\sqrt{3}$，2）；
故答案为（3-$\sqrt{3}$，-2），（3-$\sqrt{3}$，2）；
②将△ABC绕点O旋转180°可得到△A₂B₂C₂，即旋转的度数为180°；
③当△ABC向上平移2个单位时，△A₁B₁C₁与△A₂B₂C₂完全重合，此时点C的坐标为（-3+$\sqrt{3}$，0）．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平移变换．