Question

如图，正方形ABCD中，点N为AB的中点，连接DN并延长交CB的延长线于点P，连接AC交DN于点M．若PN=3，则DM的长为

 

．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,全等三角形的判定与性质,正方形的性质

专题：

分析：因为PN=3，又易知△PBN全等于△DNA，所以DN=PN=3，又因为AB∥DC，所以易证△AMN相似与△CMD，所以NM：DM=AN：DC=

1

2

，又PN=3，可求得DM．

解答：解：∵四边形ABCD为正方形，N为中点，
∴AD=PB，AN=BN，∠DAN=∠PBN=90°，
在△PBN和△DNA中

PB=AD ∠PBN=∠DAN BN=AN

∴△PBN≌△DNA（SAS），
∴DN=PN=3，即DM+MN=3，
∵AB∥CD，
∴△AMN∽△CMD，
∴

MN

MD

=

AN

DC

=

1

2

，
∴DM=2，
故答案为：2．

点评：本题主要考查全等三角形、相似三角形的判定和性质，由条件证得DN=3和MN：MD=1：2是解题的关键．