Question

【题目】如图①，△ABC与△ADE均是等腰直角三角形，直角边AC、AD在同一条直线上，点G、H分别是斜边DE、BC的中点，点F为BE的中点，连接GF、GH．

（1）猜想GF与GH的数量关系，请直接写出结论；

（2）现将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图②，请判断（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；

（3）若AD＝2，AC＝4，将图①中的△ADE绕着点A逆时针旋转一周，直接写出GH的最大值和最小值，并写出取得最值时旋转角的度数．

Answer 1

【答案】（1），（2）成立，理由见解析；（3）当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB＝6，即GF最小值为3，旋转角的度数为90°．

【解析】

（1）连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，由“SAS”可证△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通过证明△GFH是等腰直角三角形，可得结论；
（2）连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，由“SAS”可证△ACE≌△ABD，可得EC=DB，∠ACE=∠ABD，通过证明△GFH是等腰直角三角形，可得结论；
（3）由GH=GF，GF=BD，可得GF=BD，则当点D在线段AB上时，BD有最小值为AB-AD=2，即GF最小值为，当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB=6，即GF最小值为3，即可求解．

（1），

理由如下：连接CE，FH，BD，延长BD交CE于N，

∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°．

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．

又∵∠ACE+∠CEA＝90°，

∴∠ABD+∠CEA＝90°，

∴∠BNE＝90°，

∵点G、F、H分别为ED、EB、BC的中点，

∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．

∴CF＝FH，∠ENB＝∠FOB＝∠GFH＝90°，

∴△GFH是等腰直角三角形，

∴GH＝GF；

（2）连接EC，FH，BD，EC交BD于点I，交GF于点M，FH交BD于N，

∵△ACB和△ADE是等腰直角三角形，

∴AC＝AB，AE＝AD，∠CAB＝∠EAD＝90°，

∴∠CAB+∠DAC＝∠EAD+∠DAC．

∴∠EAC＝∠BAD，

∴△ACE≌△ABD（SAS），

∴EC＝DB，∠ACE＝∠ABD．

又∵∠AOB＝∠COI，

∴∠OIC＝∠BAO＝90°，

∵点G、F、H分别为ED、EB、BC的中点，

∴GF＝BD，GF∥BD，FH＝EC，FH∥EC．

∴GF＝FH．四边形FMIN是平行四边形，

∴∠MFN＝∠MIN＝180°﹣90°＝90°，

∴△GFH是等腰直角三角形，

∴；

（3）∵GH＝GF，GF＝BD，

∴GF＝BD，

∴当BD有最大值时，GF有最大值，当BD有最小值时，GF有最小值，

∴当点D在线段AB上时，BD有最小值为AB﹣AD＝2，即GF最小值为，旋转角的度数为270°；

当点D在线段BA的延长线上时，BD有最大值为AD+AB＝6，即GF最小值为3，旋转角的度数为90°．