Question

如图，在平行四边形ABCD中，∠A=60°，AD=6，且AD⊥BD，点E，F分别是边AB，CD上的动点，且AE=CF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）当AE为何值时，四边形DEBF是矩形．

Answer 1

考点：矩形的判定,平行四边形的判定与性质

专题：

分析：（1）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥CD，AB=CD，再求出BE=DF，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明；
（2）过D作DE⊥AB于E，根据直角三角形两锐角互余求出∠ADE=30°，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AE=

1

2

AD．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE=CF，
∴AB-AE=CD-CF，
∴BE=DF，BE∥DF，
∴四边形DEBF是平行四边形；

（2）解：当AE=3时，四边形DEBF是矩形．
理由是：过D作DE⊥AB于E，
则∠ADE=30°，
∴AE=AB=3，
即当AE=3时，∠DEB=∠DEA=90°，
即平行四边形BEDF是矩形；
即当AE=3时，四边形DEBF是矩形．

点评：本题考查了矩形的判定，平行四边形的判定与性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，熟记各性质与矩形的判定方法是解题的关键．