Question

【题目】已知：x为实数，[x]表示不超过x的最大整数，如[3.14]=3，[1]=1，[﹣1.2]=﹣2．请你在学习，理解上述定义的基础上，解决下列问题：设函数y=x﹣[x]．

（1）当x=2.15时，求y=x﹣[x]的值；

（2）当0＜x＜2时，求函数y=x﹣[x]的表达式，并画出函数图象；

（3）当﹣2＜x＜2时，平面直角坐标系xOy中，以O为圆心，r为半径作圆，且r≤2，该圆与函数y=x﹣[x]恰有一个公共点，请直接写出r的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）0.15；（2）①y=x，②当1y=x﹣1， （3）r的取值范围是：0＜r＜或x=．

【解析】试题分析：（1）根据[x]的定义进行计算即可；

（2）由已知条件：0＜x＜1，1≤x＜2进行分类讨论，由此可求出结论；

（3）把自变题x在-2＜x＜2内分四种情况得出相应的函数关系式，并画出图形，确定r的取值即可．

试题解析：解：（1）当x=2.15时，y=x﹣[x]=2.15﹣[2.15]=2.15﹣2=0.15；

（2）①当0＜x＜1时，[x]=0．∵y=x﹣[x]，∴y=x；

②当1≤x＜2时，[x]=1

∵y=x﹣[x]，∴y=x﹣1；

（3）函数y=x﹣[x]（﹣2＜x＜2），如图，OA=．

①当﹣2＜x＜﹣1，[x]=﹣2，y=x﹣[x]=x+2，②当﹣1≤x＜0时，[x]=﹣1，y=x﹣[x]=x+1，③当0≤x＜1时，[x]=0，y=x﹣[x ]=x，④当1≤x＜2时，[x]=1，y=x﹣[x]=x﹣1，当r=OA= 时，⊙O与直线y=x﹣1相交于一点，OC= OA=，当0＜r＜时，⊙O总与直线y=x相交于一点；

综上所述：r的取值范围是：0＜r＜或x= ．