Question

【题目】如图，△ABC中，∠ABC＝45°，CD⊥AB于点D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于点E，与CD交于F，H是BC边的中点，连接DH与BE交于点G，则下列结论：

①BF＝AC；②∠A＝∠DGE；③CE＜BG；④S△ADC＝S四边形CEGH；⑤DGAE＝DCEF中，正确结论的个数是（　　）

A.2B.3C.4D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

证明△BDF≌△CDA可判断①；

由利用三角形的外角的性质及四边形的内角和定理可判断②；

连接利用DH是BC的垂直平分线，从而可判断③；

过G作GJ⊥AB于J，过F作FMBC于M，连接GM，设 分别计算三角形ADC的面积和四边形CEGH的面积可判断④；

由△BDF∽△CEF，可判断⑤．

解：∵CD⊥AB，BF⊥AC，

∴∠BEC=∠BDC=∠ADC=90°，

∵∠ABC=45°，

∴∠DCB=45°=∠ABC，

∴BD=DC，

∵∠BDC=∠CEF=90°，∠DFB=∠EFC，

∴由三角形内角和定理得：∠DBF=∠ACD，

∵在△BDF和△CDA中，

∴△BDF≌△CDA（ASA），

∴BF=AC，∠BFD=∠A，∴①正确；

∵∠DFB=∠FBC+∠FCB=∠FBC+45°，∠DGF=∠GBD+45°，∠FBC=∠GBD，

∴∠DFG=∠DGF，

∴∠A=∠DGE，故②正确，

如图，连接

∵∠ABC=45°，∠BDC=90°，

∴△BDC是等腰直角三角形，

∵H是BC边的中点，

∴DH垂直平分BC，

故③正确；

过G作GJ⊥AB于J，过F作FMBC于M，连接GM，

平分

四边形DGMF是菱形，

设

则

四边形CFGH的面积＝梯形GHMF的面积＋的面积

S△ADCS四边形CEGH，故④错误．

∵△BDF∽△CEF，

∴，

∵BD=DC，CE=AE，DF=DG，

∴

∴DGAE=DCEF，故⑤正确．

故选：C．