【题目】如图,抛物线的图像经过点A(4,4),B(5,0)和原点O,点P为抛物线上的一个动点,过点P作x轴的垂线,垂足为D(m,0)(m>0),并与直线OA交于点C.
(1)求出抛物线的函数表达式;
(2)连接OP,当S△OPC=S△OCD时,求出此时的点P坐标;
(3)在直线OA上取一点M,使得以P、C、M为顶点的三角形与△OCD全等,求出点M的坐标.
【答案】(1);(2)或;(3)满足条件的有,,,.
【解析】
(1)利用待定系数法,将A、B、O三点坐标代入即可求解;
(2)根据面积关系得到PC与CD的数量关系,然后设出点的坐标,通过数量关系即可建立方程求解;
(3)分情况讨论,利用全等的性质建立方程求解.
解:(1)设,
将,,代入表达式得:,
解得:,
∴;
(2)∵OA经过点O(0,0)、点A(4,4),
∴直线OA的函数关系式为:,
设点,则,
∵,且两个三角形同高,
∴,
∴,
当时,解得:,(舍去),
∴代入得,即,
当时,解得:,(舍去),
∴代入得,即,
综上,点P的坐标为或;
(3)当时:
①如图,当≌时,,
∴,解得:,
∴;
②如图,当≌时,,
∴,解得:,
过点M作MH⊥PD于点H,则,
∴;
当时:
③如图,当≌时,,
∴,解得:,
过点M作MH⊥PD于点H,则,
∴;
④如图,当≌时,点与点重合,,
综上所述,满足条件的有:,,,.
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【题目】如图,在中,,两条高AD,BE交于点P.过点E作,垂足为G,交AD于点F,过点F作,交BC于点H,交BE交于点Q,连接DE.
(1)若,,求DE的长
(2)若,求证:.
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【题目】如图,AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动,其中点P从点A出发,沿AC边一直移到点C为止,点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止,(点P到达点C后,点Q继续运动)
(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长,并写出定义域.
(2)当t等于何值时,△APQ与△ABC相似?
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【题目】疫情过后,为了促进消费,某商场设计了一种促销活动:在一个不透明的箱子里放有四个相同的小球,球上分别标有“10元”、“20元”、“30元”和“40元”的字样,规定:在本商场同一日内,顾客每消费满500元,就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)。商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券,购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费500元.
(1)该顺客最多可得到______元购物券;
(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率.
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【题目】钟南山院士谈到防护新型冠状病毒肺炎时说:“我们需要重视防护,但也不必恐慌,尽量少去人员密集的场所,出门戴口罩,在室内注意通风,勤洗手,多运动,少熬夜.”某社区为了加强社区居民对新型冠状病毒肺炎防护知识的了解,通过微信群宣传新型冠状病毒肺炎的防护知识,并鼓励社区居民在线参与作答《年新型冠状病毒防治全国统一考试(全国卷)》试卷(满分分),社区管理员随机从有人的某小区抽取若干名人员的答卷成绩,并对他们的成绩(单位:分)统计整理后绘制了一幅不完整的统计表(如图所示)
等级 | 成绩() | 频数 | 频率 |
合计 |
根据上面提供的信息,回答下列问题:
(1)统计表中的=___,=_____;
(2)根据抽样调查结果,请估计该小区答题成绩为“级”的有多少人?
(3)该社区有名男管理员和名女管理员,现从中随机挑选名管理员参加“社区防控”宣传活动,请用树状图法或列表法求出恰好选中“男女”的概率.
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【题目】如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD交于F,H是BC边的中点,连接DH与BE交于点G,则下列结论:
①BF=AC;②∠A=∠DGE;③CE<BG;④S△ADC=S四边形CEGH;⑤DGAE=DCEF中,正确结论的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】如图,点A在反比例函数(x<0)的图象上,连接OA,分别以点O和点A为圆心,大于的长为半径作弧,两弧相交于B,C两点,过B,C两点作直线交x轴于点D,连接AD.若∠AOD=30°,△AOD的面积为2,则k的值为( )
A.﹣6B.6C.﹣2D.﹣3
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【题目】如图,以等边△ABC的边BC为直径作⊙O,分别交AB、AC于点D、E,过点D作DF⊥AC交AC于点F.
(1)求证:DF是⊙O的切线;
(2)若等边△ABC的边长为8,求图中阴影部分的面积.
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