【题目】如图,抛物线y=-x2+2x+m+1(m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在2和3之间,顶点为B.
①抛物线y=-x2+2x+m+1与直线y=m+2有且只有一个交点;
②若点M(-2,y1)、点N(,y2)、点P(2,y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3;
③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为y=-(x+1)2+m;
④点A关于直线x=1的对称点为C,点D、E分别在x轴和y轴上,当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为.
其中正确判断有( )
A.①②③④B.②③④C.①③④D.①③
【答案】C
【解析】
将二次函数配方成即可判断①③;将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②;将m=1代入函数解析式即可求算A,C坐标,作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值.
解:将y=-x2+2x+m+1化为顶点式为:
∴顶点坐标为,函数图形与直线y=m+2相切,只有一个公共点,①正确;
根据“上加下减,左加右减”将向左平移2个单位,再向下平移2个单位得到: ,③正确;
二次函数的对称轴是直线,故P(2,y3)可对称到,在对称轴左侧,y随x的增大而增大,故,②错误;
当m=1时,函数解析式为:,故,,
作B关于y轴对称点N,作C关于x轴对称点M,则 连接MN,则MN为BE,DE,CD和的最小值,四边形BCDE周长最小值为MN与BC的和,则有:
∴当m=1时,四边形BCDE周长的最小值为,④正确;
故答案选:C.
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【题目】如图1,在平面直角坐标系内,A,B为x轴上两点,以AB为直径的⊙M交y轴于C,D两点,C为的中点,弦AE交y轴于点F,且点A的坐标为(2,0),CD=8
(1)求⊙M的半径;
(2)动点P在⊙M的圆周上运动.
①如图1,当FP的长度最大时,点P记为P,在图1中画出点P0,并求出点P0横坐标a的值;
②如图1,当EP平分∠AEB时,求EP的长度;
③如图2,过点D作⊙M的切线交x轴于点Q,当点P与点A,B不重合时,请证明为定值.
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【题目】如图,四边形ABCD是菱形,⊙O经过点A、C、D,与BC相交于点E,连接AC、AE.若∠D=70°,则∠EAC的度数为____________.
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【题目】如图,在中,,两条高AD,BE交于点P.过点E作,垂足为G,交AD于点F,过点F作,交BC于点H,交BE交于点Q,连接DE.
(1)若,,求DE的长
(2)若,求证:.
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【题目】如图是由边长为1的小正方形构成的网格,每个小正方形的顶点叫做格点.的顶点在格点上,仅用无刻度尺的直尺在给定网格中画图,画图过程用虚线表示,画图结果用实线表示,按步骤完成下列问题:
(1)将边绕点顺时针旋转90°得到线段;
(2)画边的中点;
(3)连接并延长交于点,直接写出的值;
(4)在上画点,连接,使.
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【题目】如图,AB=16cm,AC=12cm,动点P、Q分别以每秒2cm和1cm的速度同时开始运动,其中点P从点A出发,沿AC边一直移到点C为止,点Q从点B出发沿BA边一直移到点A为止,(点P到达点C后,点Q继续运动)
(1)请直接用含t的代数式表示AP的长和AQ的长,并写出定义域.
(2)当t等于何值时,△APQ与△ABC相似?
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【题目】疫情过后,为了促进消费,某商场设计了一种促销活动:在一个不透明的箱子里放有四个相同的小球,球上分别标有“10元”、“20元”、“30元”和“40元”的字样,规定:在本商场同一日内,顾客每消费满500元,就可以在箱子里先后摸出两个球(第一次摸出后不放回)。商场根据两小球所标金额的和返还相等价格的购物券,购物券可以在本商场消费.某顾客刚好消费500元.
(1)该顺客最多可得到______元购物券;
(2)请你用画树状图或列表的方法,求出该顾客所获得购物券的金额不低于60元的概率.
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【题目】如图,△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB于点D,BE平分∠ABC,且BE⊥AC于点E,与CD交于F,H是BC边的中点,连接DH与BE交于点G,则下列结论:
①BF=AC;②∠A=∠DGE;③CE<BG;④S△ADC=S四边形CEGH;⑤DGAE=DCEF中,正确结论的个数是( )
A.2B.3C.4D.5
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【题目】已知函数y=(x>0)的图象与一次函数y=ax﹣2(a≠0)的图象交于点A(3,n).
(1)求实数a的值;
(2)设一次函数y=ax﹣2(a≠0)的图象与y轴交于点B,若点C在y轴上,且S△ABC=2S△AOB,求点C的坐标.
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