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【题目】如图,抛物线y=-x22xm1m为常数)交y轴于点A,与x轴的一个交点在23之间,顶点为B

①抛物线y=-x22xm1与直线ym2有且只有一个交点;

②若点M(-2y1)、点Ny2)、点P2y3)在该函数图象上,则y1<y2<y3

③将该抛物线向左平移2个单位,再向下平移2个单位,所得抛物线解析式为y=-(x12m

④点A关于直线x1的对称点为C,点DE分别在x轴和y轴上,当m1时,四边形BCDE周长的最小值为

其中正确判断有(

A.①②③④B.②③④C.①③④D.①③

【答案】C

【解析】

将二次函数配方成即可判断①③;将P根据对称性转化到对称轴左边即可判断②;将m1代入函数解析式即可求算AC坐标,作对称根据两点之间线段最短即可求算四边形BCDE周长的最小值.

解:将y=-x22xm1化为顶点式为:

∴顶点坐标为,函数图形与直线ym2相切,只有一个公共点,①正确;

根据上加下减,左加右减向左平移2个单位,再向下平移2个单位得到: ,③正确;

二次函数的对称轴是直线,故P2y3)可对称到,在对称轴左侧,yx的增大而增大,故,②错误;

m=1时,函数解析式为:,故

B关于y轴对称点N,作C关于x轴对称点M,则 连接MN,则MNBEDECD和的最小值,四边形BCDE周长最小值为MNBC的和,则有:

∴当m1时,四边形BCDE周长的最小值为,④正确;

故答案选:C

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