Question

【题目】在中， AB为直径， C 为上一点。

（1）如图 1. 过点 C 作 O 的切线 , 与 AB 的延长线相交于点 P, 若 ∠CAB=27°，求 ∠P 的大小；

（2）如图 2,D 为上一点 , 且 OD 经过 AC 的中点 E, 连接 DC 并延长 , 与 AB 的延长线相交于点 P, 若 ∠CAB=10°，求 ∠P 的大小.

Answer 1

【答案】（1）36；（2）30°.

【解析】

（1）连接OC，首先根据切线的性质得到∠OCP=90°，利用∠CAB=27°得到∠COB=2∠CAB=54°，然后利用直角三角形两锐角互余即可求得答案；

（2）根据E为AC的中点得到OD⊥AC，从而求得∠AOE=90°-∠EAO=80°，然后利用圆周角定理求得∠ACD=∠AOD=40°，最后利用三角形的外角的性质求解即可.

解：（1）如图，连接OC，

∵⊙O与PC相切于点C，

∴OC⊥PC，即∠OCP=90°，

∵∠CAB=27°，

∴∠COB=2∠CAB=54°，

在Rt△AOE中，∠P+∠COP=90°，

∴∠P=90°-∠COP=36°，

（2）∵E为AC的中点，

∴OD⊥AC，即∠AEO=90°，

在Rt△AOE中，由∠EAO=10°，

得∠AOE=90°-∠EAO=80°，

∴∠ACD=∠AOD=40°，

∵∠ACD是△ACP的一个外角，

∴∠P=∠ACD-∠A=40°-10°=30°.