【题目】如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.
(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).
(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?并说明理由.
(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.
【答案】(1)点M的坐标为:(t+4,t);
(2)MN=OA=4;
(3)当m≤时,平移后的抛物线总有不动点.
【解析】
试题分析:(1)作ME⊥x轴于E,则∠MEP=90°,先证出∠PME=∠CPO,再证明△MPE≌△PCO,得出ME=PO=t,EP=OC=4,求出OE,即可得出点M的坐标;
(2)连接AM,先证明四边形AEMF是正方形,得出∠MAE=45°=∠BOA,AM∥OB,证出四边形OAMN是平行四边形,即可得出MN=OA=4;
(3)先证明△PAD∽△PEM,得出比例式,得出AD,求出BD,求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数,即可得出结果.
试题解析:(1)作ME⊥x轴于E,如图1所示:则∠MEP=90°,ME∥AB,∴∠MPE+∠PME=90°,
∵四边形OABC是正方形,∴∠POC=90°,OA=OC=AB=BC=4,∠BOA=45°,
∵PM⊥CP,∴∠CPM=90°,∴∠MPE+∠CPO=90°,∴∠PME=∠CPO,
在△MPE和△PCO中,,∴△MPE≌△PCO(AAS),
∴ME=PO=t,EP=OC=4,∴OE=t+4,
∴点M的坐标为:(t+4,t);
(2)线段MN的长度不发生改变;理由如下:
连接AM,如图2所示:
∵MN∥OA,ME∥AB,∠MEA=90°,∴四边形AEMF是矩形,又∵EP=OC=OA,
∴AE=PO=t=ME,∴四边形AEMF是正方形,∴∠MAE=45°=∠BOA,
∴AM∥OB,∴四边形OAMN是平行四边形,∴MN=OA=4;
(3)∵ME∥AB,∴△PAD∽△PEM,∴,即,
∴AD=﹣t2+t,∴BD=AB﹣AD=4﹣(﹣t2+t)=t2﹣t+4,
∵MN∥OA,AB⊥OA,∴MN⊥AB,
∴四边形BNDM的面积S=MNBD=×4(t2﹣t+4)=(t﹣2)2+6,
∴S是t的二次函数,∵>0,∴S有最小值,
当t=2时,S的值最小;
∴当t=2时,四边形BNDM的面积最小.
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【题目】一个数用科学记数法表示出来是3.02×10﹣6 , 则原来的数应该是( )
A.0.00000302
B.0.000000302
C.3020000
D.302000000
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】甲、乙两车分别从相距480km的A、B两地相向而行,乙车比甲车先出发1小时,并以各自的速度匀速行驶,途径C地,甲车到达C地停留1小时,因有事按原路原速返回A地.乙车从B地直达A地,两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程y(千米)与甲车出发所用的时间x(小时)的关系如图,结合图象信息解答下列问题:
(1)乙车的速度是 千米/时,t= 小时;
(2)求甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式,并写出自变量的取值范围;
(3)直接写出乙车出发多长时间两车相距120千米.
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