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【题目】如图,四边形OABC是边长为4的正方形,点P为OA边上任意一点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PM⊥CP交AB于点D,且PM=CP,过点M作MN∥OA,交BO于点N,连接ND、BM,设OP=t.

(1)求点M的坐标(用含t的代数式表示).

(2)试判断线段MN的长度是否随点P的位置的变化而改变?并说明理由.

(3)当t为何值时,四边形BNDM的面积最小.

【答案】(1)点M的坐标为:(t+4,t);

(2)MN=OA=4;

(3)当m≤时,平移后的抛物线总有不动点.

析】

试题分析:(1)作ME⊥x轴于E,则∠MEP=90°,先证出∠PME=∠CPO,再证明△MPE≌△PCO,得出ME=PO=t,EP=OC=4,求出OE,即可得出点M的坐标;

(2)连接AM,先证明四边形AEMF是正方形,得出∠MAE=45°=∠BOA,AM∥OB,证出四边形OAMN是平行四边形,即可得出MN=OA=4;

(3)先证明△PAD∽△PEM,得出比例式,得出AD,求出BD,求出四边形BNDM的面积S是关于t的二次函数,即可得出结果.

试题解析:(1)作ME⊥x轴于E,如图1所示:则∠MEP=90°,ME∥AB,∴∠MPE+∠PME=90°,

∵四边形OABC是正方形,∴∠POC=90°,OA=OC=AB=BC=4,∠BOA=45°,

∵PM⊥CP,∴∠CPM=90°,∴∠MPE+∠CPO=90°,∴∠PME=∠CPO,

在△MPE和△PCO中,,∴△MPE≌△PCO(AAS),

∴ME=PO=t,EP=OC=4,∴OE=t+4,

∴点M的坐标为:(t+4,t);

(2)线段MN的长度不发生改变;理由如下:

连接AM,如图2所示:

∵MN∥OA,ME∥AB,∠MEA=90°,∴四边形AEMF是矩形,又∵EP=OC=OA,

∴AE=PO=t=ME,∴四边形AEMF是正方形,∴∠MAE=45°=∠BOA,

∴AM∥OB,∴四边形OAMN是平行四边形,∴MN=OA=4;

(3)∵ME∥AB,∴△PAD∽△PEM,∴,即

∴AD=﹣t2+t,∴BD=AB﹣AD=4﹣(﹣t2+t)=t2﹣t+4,

∵MN∥OA,AB⊥OA,∴MN⊥AB,

∴四边形BNDM的面积S=MNBD=×4(t2﹣t+4)=(t﹣2)2+6,

∴S是t的二次函数,∵>0,∴S有最小值,

当t=2时,S的值最小;

∴当t=2时,四边形BNDM的面积最小.

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