Question

【题目】如图①所示，直线L:yax10a与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.

（1）当OAOB时，试确定直线L的解析式；

（2）在（1）的条件下，如图②所示，设Q为AB延长线上一点，作直线OQ，过A、B两点分别作AMOQ于M，BNOQ于N，若AM8,BN6，求MN的长.

（3）当a取不同的值时，点B在y轴正半轴上运动，分别以OB、AB为边，点B为直角顶点在第一、二象限内作等腰直角OBF和等腰直角ABE，连接EF交y轴于P点，如图③，问：当点B在y轴正半轴上运动时，试猜想PB的长是否为定值，若是，请求出其值，若不是，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）L的解析式y=x+10；（2）MN =14；（3）PB的长为定值，PB=5，见解析.

【解析】

（1）先求出直线y=ax+10a与x、y轴的交点坐标，然后由OA=OB可求出a的值，进而确定直线解析式；

（2）用AAS证明△AMO≌△ONB，由全等三角形的性质得ON=AM，OM=BN，进一步即可求出MN的值；

（3）过点E作EG⊥y轴于G点，先证明△ABO≌△EGB，得BG=AO=10，OB=EG，再证明△BFP≌△GEP，得BP=GP=BG=5，于是问题得解.

解：（1）（1）∵直线L：y=ax+10a，

∴A（-10，0），B（0，10a），

∵直线交y轴正半轴，∴10a＞0，∴a＞0.

由OA=OB得：10a=10，∴a=1，

∴直线解析式为：y=x+10；

（2）∵AM⊥OQ，BN⊥OQ，∴∠AMO=∠BNO=90°，

∴∠AOM+∠MAO=90°，

∵∠AOM+∠BON=90°，∴∠MAO=∠NOB.

在△AMO和△OBN中，

∴△AMO≌△ONB．∴ON=AM，OM=BN，

∵AM=8，BN=6，∴MN=AM+BN=14.

（3）PB的长为定值.

理由：如图，过点E作EG⊥y轴于G点，

∵△AEB为等腰直角三角形，∴AB=EB，∠ABO+∠EBG=90°，

∵EG⊥BG，∴∠GEB+∠EBG=90°.

∴∠ABO=∠GEB.

在△ABO和△EGB中

∴△ABO≌△EGB，∴BG=AO=10，OB=EG，

∵△OBF为等腰直角三角形，∴OB=BF，∴BF=EG.

在△BFP和△GEP中

∴△BFP≌△GEP，∴BP=GP=BG=5.

即PB的长为定值.