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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线顶点为C(1,2),且与直线yx交于点B);点P为抛物线上OB两点之间一个动点(不与OB两点重合),过PPQy轴交线段OB于点Q

(1)求抛物线的解析式;

(2)当PQ的长度为最大值时,求点Q的坐标;

(3)点M为抛物线上OB两点之间一个动点(不与OB两点重合),点N为线段OB上一个动点;当四边形PQNM为平行四边形,且PNOB时,请直接写出Q点坐标.

【答案】(1)y=﹣2x2+4x;(2)当PQ的长度为最大值时,点Q的坐标为();(3)Q的坐标为(

【解析】

(1)由抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为yax﹣1)2+2(a≠0),代入点B的坐标即可求出a值,进而可得出抛物线的解析式;

(2)设点P的坐标为(x,﹣2x2+4x)(0<x),则点Q的坐标为(xx),进而可得出PQ=﹣2x2+3x,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;

(3)设点Q的坐标为(mm),点N的坐标为(nn),则点P的坐标为(m,﹣2m2+4m),点M的坐标为(n,﹣2n2+4n),根据平行四边形的性质可得出m+n,由PNOB及直线OB的解析式可得出PNQ为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得出PQ=2(nm),结合PQ=﹣2m2+3mm+n,即可得出关于m的一元二次方程,解之取大于0小于的值即可得出结论.

解:(1)∵抛物线顶点为C(1,2),

∴设抛物线的解析式为yax﹣1)2+2(a≠0).

∵点B)在抛物线上,

a﹣1)2+2,

a=﹣2,

∴抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+2,即y=﹣2x2+4x

(2)设点P的坐标为(x,﹣2x2+4x)(0<x),则点Q的坐标为(xx),

PQ=﹣2x2+4xx=﹣2x2+3x=﹣2(x2+

﹣2<0,

∴当x时,PQ的长度取最大值,

∴当PQ的长度为最大值时,点Q的坐标为().

(3)依照题意画出图形,如图所示.

设点Q的坐标为(mm),点N的坐标为(nn),则点P的坐标为(m,﹣2m2+4m),点M的坐标为(n,﹣2n2+4n),

PQ=﹣2m2+3mMN=﹣2n2+3n

∵四边形PQNM为平行四边形,

PQMN,即﹣2m2+3m=﹣2n2+3n

﹣2(m+n)(mn)+3(mn)=0.

mn

m+n

nm

∵直线OB的解析式为yxPNOB

∴△PNQ为等腰直角三角形,

PQNQ=2(nm),即﹣2m2+3m=3﹣4m

整理得:2m2﹣7m+3=0,

解得:m1m2=3(不合题意,舍去),

∴点Q的坐标为().

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