【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线顶点为C(1,2),且与直线y=x交于点B(,);点P为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),过P作PQ∥y轴交线段OB于点Q.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当PQ的长度为最大值时,求点Q的坐标;
(3)点M为抛物线上O,B两点之间一个动点(不与O,B两点重合),点N为线段OB上一个动点;当四边形PQNM为平行四边形,且PN⊥OB时,请直接写出Q点坐标.
【答案】(1)y=﹣2x2+4x;(2)当PQ的长度为最大值时,点Q的坐标为(,);(3)点Q的坐标为(,)
【解析】
(1)由抛物线的顶点坐标设出抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+2(a≠0),代入点B的坐标即可求出a值,进而可得出抛物线的解析式;
(2)设点P的坐标为(x,﹣2x2+4x)(0<x<),则点Q的坐标为(x,x),进而可得出PQ=﹣2x2+3x,再利用二次函数的性质即可解决最值问题;
(3)设点Q的坐标为(m,m),点N的坐标为(n,n),则点P的坐标为(m,﹣2m2+4m),点M的坐标为(n,﹣2n2+4n),根据平行四边形的性质可得出m+n=,由PN⊥OB及直线OB的解析式可得出△PNQ为等腰直角三角形,根据等腰直角三角形的性质可得出PQ=2(n﹣m),结合PQ=﹣2m2+3m,m+n=,即可得出关于m的一元二次方程,解之取大于0小于的值即可得出结论.
解:(1)∵抛物线顶点为C(1,2),
∴设抛物线的解析式为y=a(x﹣1)2+2(a≠0).
∵点B(,)在抛物线上,
∴=a(﹣1)2+2,
∴a=﹣2,
∴抛物线的解析式为y=﹣2(x﹣1)2+2,即y=﹣2x2+4x.
(2)设点P的坐标为(x,﹣2x2+4x)(0<x<),则点Q的坐标为(x,x),
∴PQ=﹣2x2+4x﹣x=﹣2x2+3x=﹣2(x﹣)2+.
∵﹣2<0,
∴当x=时,PQ的长度取最大值,
∴当PQ的长度为最大值时,点Q的坐标为(,).
(3)依照题意画出图形,如图所示.
设点Q的坐标为(m,m),点N的坐标为(n,n),则点P的坐标为(m,﹣2m2+4m),点M的坐标为(n,﹣2n2+4n),
∴PQ=﹣2m2+3m,MN=﹣2n2+3n.
∵四边形PQNM为平行四边形,
∴PQ=MN,即﹣2m2+3m=﹣2n2+3n,
∴﹣2(m+n)(m﹣n)+3(m﹣n)=0.
∵m≠n,
∴m+n=,
∴n=﹣m.
∵直线OB的解析式为y=x,PN⊥OB,
∴△PNQ为等腰直角三角形,
∴PQ=NQ=2(n﹣m),即﹣2m2+3m=3﹣4m,
整理得:2m2﹣7m+3=0,
解得:m1=,m2=3(不合题意,舍去),
∴点Q的坐标为(,).
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【题目】如图,抛物线与轴交于两点(在的左侧),与轴交于点, 点与点关于抛物线的对称轴对称.
(1)求抛物线的解析式及点的坐标:
(2)点是抛物线对称轴上的一动点,当的周长最小时,求出点的坐标;
(3)点在轴上,且,请直接写出点的坐标.
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【题目】如图,在正方形网格图中建立一直角坐标系,一条圆弧经过网格点A、B、C,请在网格中进行下列操作:
(1)在图中确定该圆弧所在圆的圆心D点的位置,并写出点D点坐标为________.
(2)连接AD、CD,求⊙D的半径及的长;
(3)有一点E(6,0),判断点E与⊙D的位置关系.
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【题目】如图,菱形ABCD中,AB=AC,点E、F分别为边AB、BC上的点,且AE=BF,连接CE、AF交于点H,则下列结论:①△ABF≌△CAE;②∠AHC=120°;③△AEH∽△CEA;④AEAD=AHAF;其中结论正确的个数是( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点的坐标分别是A(﹣4,1),B(﹣1,2),C(﹣2,4).
(1)将△ABC向右平移4个单位后得到△A1B1C1,请画出△A1B1C1,并写出点B1的坐标;
(2)△A2B2C2和△A1B1C1关于原点O中心对称,请画出△A2B2C2,并写出点C2的坐标;
(3)连接点A和点B2,点B和点A2,得到四边形AB2A2B,试判断四边形AB2A2B的形状(无须说明理由).
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【题目】据农业农村部新闻部办公室2018年10月15日消息,江宁省发现疑似非洲猪瘟疫情,此次猪瘟疫情发病急,蔓延速度快.当政府和企业迅速进行了猪瘟疫情排查和处置,在疫情排查过程中,某农场第一天发现3头生猪发病,两天后发现共有192头生猪发病,
(1)求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪?
(2)若疫情得不到有效控制,3天后生猪发病头数会超过1500头吗?
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【题目】某课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃,其中一边靠墙,另三边用长为米的篱笆围成,已知墙长为米(如图所示),设这个苗圃垂直于墙的一边的长为米.
(1)垂直于墙的一边边的长为多少米时,这个苗圃的面积最大,并求出这个最大值;
(2)当这个苗圃的面积不小于平方米时,试结合函数图象,直接写出的取值范围.
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【题目】某市前年PM2.5的年均浓度为50微克/立方米,今年PM2.5的年均浓度下降到40.5微克/立方米,求这两年PM2.5的年均浓度平均下降的百分率.试用列方程解应用题的方法求出问题的解。
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【题目】已知AB是⊙O的直径,AT是⊙O的切线,∠ABT=50°,BT交⊙O于点C,E是AB上一点,延长CE交⊙O于点D.
(1)如图①,求∠T和∠CDB的大小;
(2)如图②,当BE=BC,求∠CDO的大小.
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