Question

4．在⊙O中，AB为⊙O的直径，AC是弦，OC=4，∠OAC=60°．
（1）在图1中，P为直径BA延长线上的一点，当CP与⊙O相切时，求PO的长；
（2）如图2，一动点M从A点出发，在⊙O上按逆时针方向运动一周，当S_△MAO=S_△CAO时，求半径OM所扫过的扇形的面积．

Answer 1

分析 （1）根据切线的性质得到CP⊥OC，由于∠OAC=∠AOC=60°，于是得到∠P=90°-∠AOC=30°，在Rt△POC中，求得CO=$\frac{1}{2}$PO=4，即可得到结论；
（2）如图，当S_△MAO=S_△CAO时，动点M的位置有四种．①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁，②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，④当点M运动到C时，M与C重合，求得每种情况的OM转过的度数，再根据弧长公式求得弧AM的长，即可得到结论．

解答 解：（1）∵CP与⊙O相切，OC是半径．
∴CP⊥OC，
又∵∠OAC=∠AOC=60°，
∴∠P=90°-∠AOC=30°，
∴在Rt△POC中，CO=$\frac{1}{2}$PO=4，
则PO=2CO=8；

（2）如图，
①作点C关于直径AB的对称点M₁，连接AM₁，OM₁．
易得S_△M1AO=S_△CAO，∠AOM₁=60°
∴$\widehat{A{M}_{1}}$
∴当点M运动到M₁时，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为$\frac{60π×4}{180}$=$\frac{4}{3}$π，
∴半径OM所扫过的扇形的面积=$\frac{1}{2}×$$\frac{4}{3}$π×4=$\frac{8}{3}$π；

②过点M₁作M₁M₂∥AB交⊙O于点M₂，连接AM₂，OM₂，易得S_△M2AO=S_△CAO．
∴∠AOM₁=∠M₁OM₂=∠BOM₂=60°
∴$\widehat{A{M}_{2}}$=$\frac{4}{3}$π×2或$\widehat{A{M}_{2}}$=$\frac{4π}{180}$×120=$\frac{8}{3}$π，
∴当点M运动到M₂时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为$\frac{8}{3}$π，
∴半径OM所扫过的扇形的面积=$\frac{1}{2}×\frac{8}{3}$π×4=$\frac{16}{3}$π；

③过点C作CM₃∥AB交⊙O于点M₃，连接AM₃，OM₃，易得S_△M3AO=S_△CAO
∴∠BOM₃=60°，
∴$\widehat{A{M}_{2}{M}_{3}}$=$\frac{4π}{180}×240$或$\widehat{A{M}_{2}{M}_{3}}$=$\frac{8π}{3}$×2=$\frac{16π}{3}$
∴当点M运动到M₃时，S_△MAO=S_△CAO，此时点M经过的弧长为$\frac{16}{3}$π，
∴半径OM所扫过的扇形的面积=$\frac{1}{2}×\frac{16}{3}$π×4=$\frac{32}{3}$π；

④当点M运动到C时，M与C重合，S_△MAO=S_△CAO，
此时点M经过的弧长为$\frac{4π}{180}$×300°或$\frac{16}{3}$π+$\frac{4}{3}$π=$\frac{20}{3}$π，
∴半径OM所扫过的扇形的面积=$\frac{1}{2}×\frac{20}{3}π$×4=$\frac{40}{3}$π．

点评 本题考查了等边三角形的判定和性质，弧长公式，同底等高的三角形的面积相等的性质扇形的面积的计算，注意分类思想的应用．