Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，点E是AC的中点，线段AE以A为中心顺时针旋转，点E落在线段BE上的D处，线段CE以C为中心顺时针旋转，点E落在BE的延长线上的点F处，连接AF，CD.

（1）求证：四边形ADCF是平行四边形；

（2）当BD=CD时，探究线段AB，BC，BF三者之间的等量关系，并证明；

（3）在（2）的条件下，若DE=1，试求BC的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3）

【解析】

（1）因为已知条件为AE=CE,只需证明DE=EF,根据等腰三角形的性质得到△AED≌△CEF所需条件；

（2）根据题中条件可得AG⊥BC，进一步证明△BFC为直角三角形，利用勾股定理和等量代换可探究出线段之间的关系；

（3）根据中位线定理可得DG为CF的一半，利用（2）的结论，列方程求解.

解：（1）由旋转可得，AD=AE,CE=CF,

∴∠ADE=∠AED, ∠CEF=∠CFE,

∵∠AED=∠CEF,

∴∠ADE=∠CFE,

∵E是AC的中点，

∴AE=CE,

∴△AED≌△CEF,

∴DE=EF,

∴四边形ADCF是平行四边形；

（2）延长AD交BC于G,

∵AB=AC,BD=CD,

∴AG为BC的垂直平分线，

∴AG⊥BC,

∴∠AGB=90°

∵四边形ADCF是平行四边形，

∴AD∥FC,AD=FC,

∴∠AGB=∠FCB=90°,

∴BF2=BC2+FC2，

∵CF=CE=

∴ ,

∴ ;

（3）如图，∵AB=AC,AG⊥BC,

∴BG=CG,

∵DG∥FC,

∴BD=DF,

∴DG是三角形△BCF的中位线，BF=4，

∴DG ,

设CF=x,则AD=x,DG= ,AB=AC=2x,

∴AG= ,

由勾股定理得，CG= ，

∴BC=，

∵，

∴，

∴x=或x=（不符合题意，舍去），

∴BC=.