Question

设b＞0，a²-2ab+c²=0，bc＞a²，则实数a、b、c的大小关系是（　　）

• A、b＞c＞a
• B、c＞a＞b
• C、a＞b＞c
• D、b＞a＞c

Answer 1

考点：实数大小比较

专题：

分析：由b＞0，bc＞a²≥0，得出c≥0；由a²-2ab+c²=0，变形c²=2ab-a²=a（2b-a）≥0，进而得出a≥0；由b²+c²≥2bc＞2a²，变形b²-a²+2ab＞2a²，得到b＞a；∵a²+c²=2ab，变形a²-2ac+c²=2ab-2ac，得出b＞c；由a²+c²=2ab，变形c²=a（2b-a）＞a（2a-a）=a²，得出c＞a，综上可知：b＞c＞a．

解答：解：∵b＞0，bc＞a²≥0，
∴c≥0，
∵a²-2ab+c²=0，
∴c²=2ab-a²=a（2b-a）≥0，
若a＜0，则-a＞0，2b-a＞0，
∴a（2b-a）＜0，
这与a（2b-a）≥0相矛盾，
∴a≥0，
∵b²+c²≥2bc＞2a²，
∴b²-a²+2ab＞2a²，
∴b²-3a²+2ab＞0，
∴（b+3a）（b-a）＞0，
∵b＞0，a≥0，b+3a＞0，
∴b-a＞0，
∴b＞a，
∵a²+c²=2ab，
∴a²-2ac+c²=2ab-2ac，
∴（a-c）²=2a（b-c）≥0，
∴b≥c，
若b=c，则a²-2ab+c²=a²-2ab+b²=（a-b）²=0，
∴a=b，bc=a²，
这与bc＞a²相矛盾，
∴b＞c，
∵a²+c²=2ab，
∴c²=a（2b-a）＞a（2a-a）=a²，
即c²＞a²，
∴c＞a，
综上可知：b＞c＞a．
故答案为：A．

点评：此题考查了实数的大小比较，重点考查了不等式的性质的应用、推理能力及计算能力，属于难题．