【题目】如图,在中,
(圆心
在
内部)经过
两点,交线段
于点
直径
交
于点
点
关于直线
的对称点
落在
上.连结
.
求证:
.
在圆心
的运动过程中,
若
,求
的长.
若点
关于
的对称点落在
边上时,求
的值.(直接写出答案)
令
与边
的另一个交点为
,连结
交
于点
若
,垂足为点
求证:
.
【答案】(1)证明见解析;(2)①;②
或
;(3)证明见解析.
【解析】
(1)由对称的性质可得∠A=∠BFD,结合∠BFD=∠C,即可推出结论;
(2)①先证∠DFE为直角,设,再用含a的代数式分别将FE,DE,EC表示出来,根据
列方程即可求出CE的长;
②分两种情况讨论,当点F关于AC的对称点落在BF边上时,连接DO,设FF'交AC于点M,证明BD=BE,△BOD是等腰直角三角形,即可求出结果;当点F关于AC的对称点落在BE边上时,点F'与点O重合,证明△DOF为等边三角形,在Rt△DOE中,利用锐角三角函数即可求出结果;
(3)如图作辅助线,先证明△QBG≌△ECM,推出BQ=CE,再证明DQ=DP=AD即可.
解:(1)点
关于直线
对称,
,
,
,
,
;
(2)①点
关于直线
对称,
,
,
,
,
是直径,
由圆的轴对称性可知:
,
,
,
,
设
,则
,
,
,
解得:,
;
②如图1,当点F关于AC的对称点落在BF边上时,连接DO,设FF'交AC于点M,则AC垂直平分FF',
由(1)知,∠A=∠C=45°,∠ABC=90°,
∴BA=BC,∠ABM=∠CBM=45°,
∵点A,F关于直线BD对称,
∴AD=DF,AB=FB,
又∵DB=DB,
∴△ABD≌△FBD(SSS),
∴∠ABD=∠FBD,
∵△BFE≌△BCE,
∴∠FBE=∠CBE,
∴∠ABD=∠FBD=∠FBE=∠CBE=22.5°,
∴∠DBE=∠DBF+∠EBF=45°,
∵OD=OB,
∴∠OBD=∠ODB=45°,
∴∠DOB=90°,
在△BDM与△BEM中,∠BDM=∠BEM=90°22.5°=67.5°,
∴BD=BE,
在等腰Rt△BOD中,设OB=OD=r,则BD=,
∴BE=,OE=
,
∴;
如图2,当点F关于AC的对称点落在BE边上时,
∵∠DF'E=∠DFE=90°,∠DOB=90°
∴点F'与点O重合,
连接OF,则OD=OF=DF,
∴△DOF为等边三角形,
∴∠ODF=60°,
∴∠ODE=∠FDE=30°,
在Rt△DOE中,tan∠ODE==tan30°=
,
∴,
综上所述,的值为
或
;
(3)连结;FC交
于点
,
,
∴PC是直径,
∵,
,
是等边三角形,
,
∵,
,
,
,
,
,
,
∴,
,
,
,
,
,
.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某校为了了解初三年级600名学生的身体健康情况,从该年级随机抽取了若干名学生,将他们按体重(均为整数,单位:)分成五组(
:
;
:
;
:
;
:
;
:
),并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的统计图.
解答下列问题:
(1)这次抽样调查的样本容量是________,并补全频数分布直方图;
(2)组学生的频率为_________,在扇形统计图中
组的圆心角是__________度;
(3)请你估计该校初三年级体重超过的学生大约有多少名?
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点A的坐标为(0,1),点B的坐标为(1,2),∠ABC=90°,连接AC.
(1)求直线AC的函数表达式;
(2)点P是线段OC上一动点,从点O向点C运动,过点P作PM∥y轴,分别交AB或BC,AC于点M,N,其中点P的横坐标为m,MN的长为n.
①当0<m≤1时,求n与m之间的函数关系式;
②当△AMN的面积最大时,请直接写出m的值.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,小明在家乡的楼顶上处测得池塘的一端
处的俯角为
,测得池塘
处的俯角
,
、
、
三点在同一水平直线上.已知楼高
米,求池塘宽
为多少米?(参考数据:
,
,
,
,
,
,
.结果保留一位小数.)
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,一次函数
的图象与反比例函数
(
)的图象交于
,
两点.
(1)求的值;
(2)求出一次函数与反比例函数的表达式;
(3)过点作
轴的垂线,与直线
和函数
(
)的图象的交点分别为点
,
,当点
在点
下方时,写出
的取值范围.
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【题目】已知二次函数(
).
(1)求出二次函数图象的对称轴;
(2)若该二次函数的图象经过点,且整数
,
满足
,求二次函数的表达式;
(3)对于该二次函数图象上的两点,
,设
,当
时,均有
,请结合图象,直接写出
的取值范围.
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【题目】如图,二次函数的图像与
轴交于
两点,与
轴交于点
,直线l是抛物线的对称轴,
是抛物线的顶点.
(1)求抛物线的解析式及顶点的坐标;
(2)如图,连接,线段
上的点
关于直线
的对称点
恰好在线段
上,求点
的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,Q为正方形ABCD外一点,连接BQ,过点D作DQ⊥BQ,垂足为Q,G、K分别为AB、BC上的点,连接AK、DG,分别交BQ于F、E,AK⊥DG,垂足为点H,AF=5,DH=8,F为BQ中点,M为对角线BD的中点,连接HM并延长交正方形于点N,则HN的长为_____.
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