Question

12．如图，在⊙O中，AB是直径，CD是弦，过点A、B两点分别作CD的垂线，垂足分别是点E、F，AE=1，BF=3，CD=6，求EF的长．

Answer 1

分析 过点O作OG⊥CD于点G，连接OD，延长BF交⊙O于点H，连接AH，先根据AE⊥CD，BF⊥CD得出△AEF∽△BFI，故可得出$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AI}{BI}$=$\frac{1}{3}$，再由点O是AB的中点得出AI=OI，由AAS定理得出△AIE≌△OIG，故AE=OG=1，判断出AEFH是矩形，在Rt△OGD中根据勾股定理求出OD的长，故可得出AB的长，再由勾股定理求出AH的长，由此可得出结论．

解答 解：过点O作OG⊥CD于点G，连接OD，延长BF交⊙O于点H，连接AH，
∵AE⊥CD，BF⊥CD，AE=1，BF=3，
∴△AEF∽△BFI，
∴$\frac{AE}{BF}$=$\frac{AI}{BI}$=$\frac{1}{3}$．
∵点O是AB的中点，
∴OA=OB，
∴AI=OI．
在△AIE与△OIG中，
$\left\{\begin{array}{l}∠AEI=∠OGI\\∠AIE=∠OIE\\ AI=OI\end{array}\right.$，
∴△AIE≌△OIG（AAS），
∴AE=OG=1．
∵CD=3，OG⊥CD，
∴GD=3，
∴OD=$\sqrt{{OG}^{2}+{GD}^{2}}$=$\sqrt{{1}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AHB=90°．
∵∠AEF=∠EFH=90°，
∴四边形AEFH是矩形，
∴AE=FH=1，AH=EF，
∵BH=3+1=4，
∴AH=$\sqrt{{AB}^{2}-{BH}^{2}}$=$\sqrt{{（2\sqrt{10}）}^{2}-{4}^{2}}$=$\sqrt{40-16}$=2$\sqrt{6}$，
∴EF=2$\sqrt{6}$．

点评 本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．