【题目】已知如图抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),与y轴交于点C(0,﹣3)
(1)请直接写出抛物线的解析式.
(2)抛物线的对称轴上是否存在一点P,使得△ACP的周长最短,若存在,请直接写出点P的坐标.
(3)点G的坐标是(2,﹣3),点F是x轴上一点,抛物线上是否存在点R,使得以A,G,F,R为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点R的坐标.
(4)在B、C连线的下方抛物线上是否存在一点Q,使得△QBC的面积是△ABC的面积的一半?若存在,求出点Q的坐标.
(5)抛物线的顶点设为D,对称轴与y轴的交点为E,M(m,0)是x轴上一动点,点N是线段DE上的一点,若∠MNC=90°,请直接写出实数m的变化范围.
【答案】
(1)解:∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0)、B(3,0),
∴y=a(x+1)(x﹣3),
把点C(0,﹣3)代入y=a(x+1)(x﹣3)得,a=1,
∴抛物线的解析式为;y=x2﹣2x﹣3
(2)解:存在,如图1
,
连接BC交对称轴于P,
则PA+PC=BC最短,
即△ACP的周长最短,
设直线BC的解析式为:y=kx+b,
∴ ,解得:
,
∴直线BC的解析式为:y=x﹣3,
∵抛物线的对称轴是直线x=1,
把x=1代入y=x﹣3,
得y=﹣2,
∴P(1,﹣2)
(3)解:存在点R,使得以A,G,F,R为顶点的四边形是平行四边形,
①平行四边形ARGF时,RG∥AF,yR=yG=﹣3,
当y=﹣3时,x2﹣2x﹣3=﹣3,解得x1=0,x2=2(舍)
点R1(0,﹣3);
②平行四边形AGFR时,yR+yG=0,即yR=3,当y=3时,x2﹣2x﹣3=3,解得x1=1﹣ ,x2=1+
,
R2(1﹣ ,3 ),R3(1+
,3),
综上所述:存在,点R的坐标(0,﹣3),(1﹣ ,3 ),(1+
,3)
(4)解:如图2
,
连BC,直线BC解析式为y=x﹣3,△ABC面积可求得6.
△ABC与△QBC同底,
则底BC上的高应为 ,
过点C,作CQ⊥BC,则CQ= ,再过Q作QH⊥y轴与H,
由Rt△CHQ∽△COB,得Q(1,﹣4),过Q作直线QL∥BC,
直线QL解析式可求得y=x﹣5,
联立方程组,得 ,
解得 ,
,
所以在BC连线下方的抛物线上存在这点Q1(1,﹣4)Q2(2,﹣3)使得△QBC是△ABC面积的一半
(5)解:如图3
,
①作∠MNC=90°,过点C做CF⊥DE,则△CFN∽△NEM,得
.
设NE=n,M(m,0),D(1,﹣4),C(0,﹣3),
则CF=1,NE=n,FN=3﹣n,ME=1﹣m,
代入比例式,得
一元二次方程n2﹣3n+(1﹣m)=0 关于n的一元二次方程有解,
则m≥﹣ ;
②当点N移动到点D时,△CNF是等腰直角三角形,与△ENM仍然相似,
所以EM=EN=4,
所以此时m=5,
综上可知 m的范围是﹣ ≤m≤5
【解析】(1)根据待定系数法,可得答案;(2)根据轴对称的性质,可得A、B关于对称轴对称,根据线段的性质可得答案;(3)根据平行四边形的性质可得答案;(4)根据面积可得CQ的长度,根据平行线的性质,可得QL,根据解方程组可得答案;(5)根据相似三角形的性质,可得关于n的方程,根据方程跟的判别式可得答案,再根据相似三角形的性质可得答案。
【考点精析】解答此题的关键在于理解平行线的性质的相关知识,掌握两直线平行,同位角相等;两直线平行,内错角相等;两直线平行,同旁内角互补,以及对平行四边形的性质的理解,了解平行四边形的对边相等且平行;平行四边形的对角相等,邻角互补;平行四边形的对角线互相平分.
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【题目】已知:如图EF∥CD,∠1+∠2=180°.
(1)试说明GD∥CA;
(2)若CD平分∠ACB,DG平分∠CDB,且∠A=40°,求∠ACB的度数.
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【题目】如图所示,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)若AD=5,BD=12,求DE的长.
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【题目】如图,在 ABCD中,∠DAB=60°,点E,F分别在CD,AB的延长线上,且AE=AD,CF=CB.
(1)求证:四边形AFCE是平行四边形.
(2)若去掉已知条件的“∠DAB=60°,上述的结论还成立吗 ”若成立,请写出证明过程;若不成立,请说明理由.
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【题目】如图1,矩形ABCD中,P是AB边上的一点(不与A,B重合),PE平分∠APC交射线AD于E,过E作EM⊥PE交直线CP于M,交直线CD于N.
(1)求证:CM=CN;
(2)若AB:BC=4:3,
①当 =时,E恰好是AD的中点;
②如图2,当△PEM与△PBC相似时,求 E N E M 的值.
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【题目】我们知道:三角形的三条角平分线交于一点,这个点称为三角形的内心(三角形内切圆的圆心).现在规定:如果四边形的四个角的角平分线交于一点,我们把这个点也成为“四边形的内心”.
(1)试举出一个有内心的四边形.
(2)如图1,已知点O是四边形ABCD的内心,求证:AB+CD=AD+BC.
(3)如图2,Rt△ABC中,∠C=90°.O是△ABC的内心.若直线DE截边AC,BC于点D,E,且O仍然是四边形ABED的内心.这样的直线DE可画多少条?请在图2中画出一条符合条件的直线DE,并简单说明作法.
(4)问题(3)中,若AC=3,BC=4,满足条件的一条直线DE∥AB,求DE的长.
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