Question

【题目】已知抛物线：（m＞0）的顶点为M，交y轴于点G．

（1）如图，若点G坐标为(0，)

①直接写出抛物线解析式；

②点Q在y轴上，将线段QM绕点Q逆时针旋转90°得线段QN，若点N恰好落在抛物线上，求点Q的坐标．

（2） 探究： 将抛物线沿唯一的定直线x=a对称得抛物线，记抛物线交y轴于点P (0，－2m)，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）①；②Q1(0，)，Q2(0，－)；（2）1

【解析】

（1）①将点G的坐标代入到二次函数解析式中即可求出结论；

②设点Q（0，t），过点N作NA⊥y轴于点A，过点M作NB⊥y轴于点B，利用AAS证出△ANQ≌△BQM，求出二次函数图象的顶点坐标即可求出点N的坐标，然后将点N的坐标代入解析式中即可求出t的值，从而求出点Q的坐标；

（2）将二次函数的一般式转化为顶点式即可求出点M的坐标，然后求出抛物线的顶点坐标，将点P的坐标代入得出关于a的一元二次方程，利用a有唯一值令△=0即可求出m的值，从而求出a的值．

解：（1）①将点G(0，)代入解析式中，得

解得：m=1或-1（不符合条件，舍去）

将m=1代入解析式中，得

；

②设点Q（0，t），过点N作NA⊥y轴于点A，过点M作NB⊥y轴于点B，

∴∠NAQ=∠MBQ=90°，

又QM=QN，∠MQN=90°，

∴∠ANQ＋∠AQN=90°，∠BQM＋∠AQN=90°

∴∠ANQ=∠BQM

∴△ANQ≌△BQM，

∴AN=BQ，AQ=BM，

由点M得M（1，），即B（0，），

∴BM=AQ=1，BQ=AN=t+，

∴A（0，t+1)，即N（t+，t+1），

则有（t+）2－2（t+）－=t+1，

解得t1=，t2=－，

∴Q1=（0，），Q2（0，－）

（2）解：：可化为

，

∴顶点M，

又∵抛物线与抛物线关于直线x=a对称，由对称性知：

抛物线的顶点坐标为，

∴抛物线的解析式为：，

又∵抛物线交y轴于点 P (0，－2m)，

则有 ，

∴

而直线x=a唯一，

∴，

解得，

所以有，

解得，