Question

7．已知sinα=sin30°+sin15°，小明马上给出了他的答案“∠α=45°”．小明的答案正确吗？说说你的理由．

Answer 1

分析 15°角可以看做是60°角与45°角的差．借助有一个内角是60°的直角三角形和等腰直角三角形构造出一个图形并借助它求出sin15°的值；作DE⊥AB，垂足为E．设DC=1，则AC=1，由勾股定理AD=$\sqrt{2}$，根据三角函数可得DE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，再根据正弦的定义即可求出sin15°的值，然后加上sin30°看看等不等于sin45°．

解答 解：如图，△ABC为有一个内角为60°的直角三角形，△ADC为等腰直角三角形，所以∠DAB=15°．
作DE⊥AB，垂足为E．
设DC=1，则AC=1，由勾股定理AD=$\sqrt{2}$，
由∠BAC=60°可得AB=2，BC=$\sqrt{3}$，
则BD=$\sqrt{3}$-1，
在Rt△BED中，∠B=30°，
 则DE=$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，
在Rt△DEA中，sin∠DAE=$\frac{ED}{AD}$=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$．
即sin15°=$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，
∴sinα=sin30°+sin15°=$\frac{1}{2}$+$\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$≠$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠α≠45°，
故小明的答案错误．

点评 本题考查的是特殊角的三角函数值，熟记各特殊角度的三角函数值是解答此题的关键．