【题目】如图,直线与轴、轴相交于、两点,抛物线过点、,且与轴另一个交点为,以、为边作矩形,交抛物线于点.
(1)求抛物线的解析式以及点的坐标;
(2)已知直线交于点,交于点,交于点,交抛物线(上方部分)于点,请用含的代数式表示的长;
(3)在(2)的条件下,连接,若和相似,求的值.
【答案】(1),的坐标为;(2);(3)的值为或1.
【解析】
(1)先求出点B、C的坐标,再利用待定系数法可求出抛物线的解析式,然后令即可求出点A的坐标;
(2)先利用待定系数法求出直线AC的解析式,从而可得点M的坐标,再根据抛物线可得点P的坐标,然后根据即可得;
(3)先根据点的坐标、正方形的性质分别求出AE、ME、CF、PF的长,再根据相似三角形的性质即可得.
(1)对于直线
当时,,解得,则点的坐标为
当时,,则点的坐标为
将点B、C的坐标代入抛物线的解析式得:,解得
则抛物线的解析式为
令得,解得或
∴点的坐标为;
(2)设直线的解析式为
把,代入得,解得
∴直线的解析式为
∵点的横坐标为,点在上
∴点的坐标为
∵点的横坐标为,点在抛物线上
∴点的坐标为
∴
即;
(3)由题意得,,,
根据相似三角形的性质,分以下两种情况:
①若,则
即
∵且
∴;
②若,则
即
∵且
∴
综上,的值为或1.
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【题目】已知直线y=kx+b经过点A(0,2),B(﹣4,0)和抛物线y=x2.
(1)求直线的解析式;
(2)将抛物线y=x2沿着x轴向右平移,平移后的抛物线对称轴左侧部分与y轴交于点C,对称轴右侧部分抛物线与直线y=kx+b交于点D,连接CD,当CD∥x轴时,求平移后得到的抛物线的解析式;
(3)在(2)的条件下,平移后得到的抛物线的对称轴与x轴交于点E,P为该抛物线上一动点,过点P作抛物线对称轴的垂线,垂足为Q,是否存在这样的点P,使以点E,P,Q为顶点的三角形与△AOB相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线y=x与反比例函数y=(x>0)的图象相交于点D,点A为直线y=x上一点,过点A作AC⊥x轴于点C,交反比例函数y=(x>0)的图象于点B,连接BD.
(1)若点B的坐标为(8,2),则k= ,点D的坐标为 ;
(2)若AB=2BC,且△OAC的面积为18,求k的值及△ABD的面积.
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【题目】对于二次函数,下列说法正确的个数是( )
①对于任何满足条件的,该二次函数的图象都经过点和两点;
②若该函数图象的对称轴为直线,则必有;
③当时,随的增大而增大;
④若,是函数图象上的两点,如果总成立,则.
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】如图所示,在正方形ABCD中,G为CD边中点,连接AG并延长交BC边的延长线于E点,对角线BD交AG于F点.已知FG=2,则线段AE的长度为_____.
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【题目】(1)数学理解:如图①,是等腰直角三角形,过斜边的中点作正方形,分别交,于点,,求证:;
(2)问题解决:如图②,在任意直角内,找一点,过点作正方形,分别交,于点,,若,求的度数;
(3)联系拓广;如图③,在(2)的条件下,分别延长,,交于点,,若,,求的长.
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=2,BC=10,E、F分别在边BC,AD上,BE=DF.将△ABE,△CDF分别沿着AE,CF翻折后得到△AGE,△CHF.若AG、CH分别平分∠EAD、∠FCB,则GH长为( )
A.3B.4C.5D.7
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