【题目】如图,抛物线与轴相交于,两点,顶点在第一象限,点在该抛物线上.
(1)若点坐标为.
①求与的函数关系式;
②已知两点,,当抛物线与线段没有交点时,求的取值范围;
(2)若点在该抛物线的曲线段上(不与点,重合),直线交轴于点,过点作轴于点,连接,.求证:.
【答案】(1)①;②当或时,该抛物线与线段没有交点.(2)详见解析.
【解析】
(1)①将点P的坐标代入抛物线的解析式即可得;
②当抛物线与x轴的另一个交点在点N的左侧或在点M的右侧时,抛物线与线段MN均无交点.方法一:利用抛物线二次项系数与开口大小的关系求解;方法二:利用二次函数图象的对称性及对称轴的位置列出不等式求解即可;
(2)如图(见解析),过点作轴于点,根据抛物线的解析式可求出点D和A的坐标,从而可知DH和AH的长,再设点P的坐标为,求出PD所在直线的解析式,从而求得点C的坐标,也就可以得知OC和OB的长,由此可得,根据相似三角形的判定定理与性质可得,最后根据平行线的判定定理即可.
(1)①∵抛物线经过
故b与a的函数关系式为:
② 由(1)得
方法一,有两种情况:
(Ⅰ)当点与点重合时
,解得
越大,抛物线开口越小
∴当时,抛物线与线段没有交点
(Ⅱ)当点与点重合时
,解得
越小,抛物线开口越大,且
∴当时抛物线与线段没有交点
综上所述,当或时,该抛物线与线段没有交点;
方法二,有两种情况:
(Ⅰ)当抛物线与轴的另一个交点在点左侧时,抛物线与线段没有交点
∵抛物线开口向下,经过原点且顶点在第一象限,对称轴为
解得
(Ⅱ)当抛物线与轴的另一个交点在点右侧时,抛物线与线段没有交点
解得
综上所述,当或时,该抛物线与线段没有交点;
(2)如图,过点作轴于点
∵抛物线的顶点
当时,
∴ 点,
设直线为:,,则
将点P和D的坐标代入得:,解得:
则直线为:
又
.
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【题目】(10分)如图,一小球从斜坡O点处抛出,球的抛出路线可以用二次函数y=﹣x2+4x刻画,斜坡可以用一次函数y=x刻画.
(1)请用配方法求二次函数图象的最高点P的坐标;
(2)小球的落点是A,求点A的坐标;
(3)连接抛物线的最高点P与点O、A得△POA,求△POA的面积;
(4)在OA上方的抛物线上存在一点M(M与P不重合),△MOA的面积等于△POA的面积.请直接写出点M的坐标.
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【题目】如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数的图象交于A、B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.
(1)求一次函数的表达式;
(2)求△AOB的面积;
(3)写出不等式kx+b>﹣的解集.
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点H,点F是上一点,连接AF交CD的延长线于点E.
(1)求证:△AFC∽△ACE;
(2)若AC=5,DC=6,当点F为的中点时,求AF的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2﹣4ax﹣(a≠0)交x轴于A、B两点,交y轴于点C,这条抛物线的顶点为D.
(1)求点D的坐标.
(2)过点C作CE∥x轴交抛物线于点E.当CE=2AB时,求点D的坐标.
(3)这条抛物线与直线y=﹣x相交,其中一个交点的横坐标为﹣1.过点P(m,0)作x轴的垂线,交这条抛物线于点M,交直线y=﹣x于点N,且点M在点N的下方.当线段MN的长度随m的增大而增大时,求m的取值范围.
(4)点Q在这条抛物线上运动,若在这条抛物线上只存在两个点Q,满足S△ABQ=3S△ABC,直接写出a的取值范围.
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【题目】在四边形ABCD中,∠B=∠C=90°,若AB=4,BC=4,CD=1,问:在BC上是否存在点P,使得AP⊥PD?若存在,求出BP的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】四张大小、形状都相同的卡片上分别写有数字1,2,3,4,把它们放入不透明的盒子中摇匀.
(1)从中随机抽出1张卡片,抽出的卡片上的数字恰好是偶数的概率为 .
(2)从中随机抽出1张卡片,记录数字后放回摇匀,再抽出一张卡片,记录数字.用树状图或列表法求两次抽出的卡片上的数字恰好是两个相邻整数的概率.
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(3,0),B(3,4).
(1)画出△AOB绕原点O逆时针旋转90°得到的△A'OB',并写出点A',B'的坐标;
(2)求线段AB在上述旋转过程中扫过的区域面积.
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【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DPPC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
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