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【题目】如图,抛物线轴相交于两点,顶点在第一象限,点在该抛物线上.

1)若点坐标为.

①求的函数关系式;

②已知两点,当抛物线与线段没有交点时,求的取值范围;

2)若点在该抛物线的曲线段上(不与点重合),直线轴于点,过点作轴于点,连接.求证:.

【答案】(1)时,该抛物线与线段没有交点.(2)详见解析.

【解析】

1)①将点P的坐标代入抛物线的解析式即可得;

②当抛物线与x轴的另一个交点在点N的左侧或在点M的右侧时,抛物线与线段MN均无交点.方法一:利用抛物线二次项系数与开口大小的关系求解;方法二:利用二次函数图象的对称性及对称轴的位置列出不等式求解即可;

2)如图(见解析),过点作轴于点,根据抛物线的解析式可求出点DA的坐标,从而可知DHAH的长,再设点P的坐标为,求出PD所在直线的解析式,从而求得点C的坐标,也就可以得知OCOB的长,由此可得,根据相似三角形的判定定理与性质可得,最后根据平行线的判定定理即可.

1)①∵抛物线经过

ba的函数关系式为:

由(1)得

方法一,有两种情况:

)当点与点重合时

,解得

越大,抛物线开口越小

∴当时,抛物线与线段没有交点

)当点与点重合时

,解得

越小,抛物线开口越大,且

∴当时抛物线与线段没有交点

综上所述,当时,该抛物线与线段没有交点;

方法二,有两种情况:

)当抛物线与轴的另一个交点在点左侧时,抛物线与线段没有交点

∵抛物线开口向下,经过原点且顶点在第一象限,对称轴为

解得

)当抛物线与轴的另一个交点在点右侧时,抛物线与线段没有交点

解得

综上所述,当时,该抛物线与线段没有交点;

2)如图,过点作轴于

∵抛物线的顶点

时,

设直线为:,则

将点PD的坐标代入得:,解得:

则直线为:

.

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