【题目】如图1,在矩形ABCD中,P为CD边上一点(DP<CP),∠APB=90°.将△ADP沿AP翻折得到△AD′P,PD′的延长线交边AB于点M,过点B作BN∥MP交DC于点N.
(1)求证:AD2=DPPC;
(2)请判断四边形PMBN的形状,并说明理由;
(3)如图2,连接AC,分别交PM,PB于点E,F.若=,求的值.
【答案】(1)证明见解析;(2)四边形PMBN是菱形,理由见解析;(3)
【解析】(1)过点P作PG⊥AB于点G,易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,所以AD=PG,DP=AG,GB=PC,易证△APG∽△PBG,所以PG2=AGGB,即AD2=DPPC;
(2)DP∥AB,所以∠DPA=∠PAM,由题意可知:∠DPA=∠APM,所以∠PAM=∠APM,由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,即∠ABP=∠MPB,从而可知PM=MB=AM,又易证四边形PMBN是平行四边形,所以四边形PMBN是菱形;
(3)由于,可设DP=k,AD=2k,由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,从而求出GB=PC=4k,AB=AG+GB=5k,由于CP∥AB,从而可证△PCF∽△BAF,△PCE∽△MAE,从而可得,,从而可求出EF=AF-AE=AC-AC=AC,从而可得.
(1)过点P作PG⊥AB于点G,
∴易知四边形DPGA,四边形PCBG是矩形,
∴AD=PG,DP=AG,GB=PC
∵∠APB=90°,
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°,
∴∠APG=∠PBG,
∴△APG∽△PBG,
∴,
∴PG2=AGGB,
即AD2=DPPC;
(2)∵DP∥AB,
∴∠DPA=∠PAM,
由题意可知:∠DPA=∠APM,
∴∠PAM=∠APM,
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM,
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM,PM=MB,
∴PM=MB,
又易证四边形PMBN是平行四边形,
∴四边形PMBN是菱形;
(3)由于,
可设DP=k,AD=2k,
由(1)可知:AG=DP=k,PG=AD=2k,
∵PG2=AGGB,
∴4k2=kGB,
∴GB=PC=4k,
AB=AG+GB=5k,
∵CP∥AB,
∴△PCF∽△BAF,
∴,
∴,
又易证:△PCE∽△MAE,AM=AB=,
∴
∴,
∴EF=AF-AE=AC-AC=AC,
∴.
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【题目】在综合实践课上,小聪所在小组要测量一条河的宽度,如图,河岸EF∥MN,小聪在河岸MN上点A处用测角仪测得河对岸小树C位于东北方向,然后沿河岸走了30米,到达B处,测得河对岸电线杆D位于北偏东30°方向,此时,其他同学测得CD=10米.请根据这些数据求出河的宽度.(结果保留根号)
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D、E分别是AB、AC的中点,连接CD,过E作EF∥DC交BC的延长线于F若平行四边形CDEF的周长是25cm,AC的长为5cm,则的长是________.
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【题目】在一次“寻宝”游戏中,“寻宝”人在如图23-6-9所示的藏宝图中找到了两个标志点A(2,3),B(4,1),A,B两点到“宝藏”点的距离相等,则“宝藏”点的可能坐标是________(填一个即可).
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【题目】如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,点E是BC的中点,点P为对角线BD上的动点,设BP=t(t>0),作PH⊥BC于点H,连接EP并延长至点F,使得PF=PE,作点F关于BD的对称点G,FG交BD于点Q,连接GH,GE.
(1)求证:EG∥PQ;
(2)当点P运动到对角线BD中点时,求△EFG的周长;
(3)在点P的运动过程中,△GEH是否可以为等腰三角形?若可以,求出t的值;若不可以,说明理由.
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【题目】央视热播节目“朗读者”激发了学生的阅读兴趣,某校为满足学生的阅读需求,欲购进一批学生喜欢的图书,学校组织学生会成员随机抽取部分学生进行问卷调查,被调查学生须从“文史类、社科类、小说类、生活类”中选择自己喜欢的一类,根据调查结果绘制了统计图(未完成),请根据图中信息,解答下列问题:
(1)此次共调查了 名学生;
(2)将条形统计图1补充完整;
(3)图2中“小说类”所在扇形的圆心角为 度;
(4)若该校共有学生2000人,估计该校喜欢“社科类”书籍的学生人数.
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【题目】如图,在四边形ABCD中,已知AB=CD,M、N、P分别是AD、BC、BD的中点∠ABD=20°,∠BDC=70°,则∠NMP的度数为( )
A. 50° B. 25° C. 15° D. 20
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【题目】如图,直线m:y=kx(k>0)与直线n:相交于点C,点A、B为直线n与坐标轴的交点,∠COA=60°,点P从O点出发沿线段OC向点C匀速运动,速度为每秒1个单位,同时点Q从点A出发沿线段AO向点O匀速运动,速度为每秒2个单位,设运动时间为t秒.
(1)k= ;
(2)记△POQ的面积为S,求t为何值时S取得最大值;
(3)当△POQ的面积最大时,以PQ为直径的圆与直线n有怎样的位置关系,请说明理由.
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【题目】一个不透明的布袋里装有4个大小,质地都相同的乒乓球,球面上分别标有数字1,-2,3,-4,小明先从布袋中随机摸出一个球(不放回去),再从剩下的3个球中随机摸出第二个乒乓球.
(1)共有 种可能的结果.
(2)请用画树状图或列表的方法求两次摸出的乒乓球的数字之积为偶数的概率.
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