Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E是BC的中点，点P为对角线BD上的动点，设BP＝t(t＞0)，作PH⊥BC于点H，连接EP并延长至点F，使得PF＝PE，作点F关于BD的对称点G，FG交BD于点Q，连接GH，GE．

(1)求证：EG∥PQ；

(2)当点P运动到对角线BD中点时，求△EFG的周长；

(3)在点P的运动过程中，△GEH是否可以为等腰三角形？若可以，求出t的值；若不可以，说明理由．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)△EFG的周长；(3)t的值为2或或．

【解析】

（1）由对称性质可知，PQ是△EFG的中位线，得到EG∥PQ；（2）先利用对称与平行线性质求出△BCD的周长，然后证得△BCD∽△FGE，两者周长比为相似比，得到△EFG的周长；（3）Rt△BPH中，BP＝t，cos∠PBH，得，BHt，E是BC的中点得到BE＝CEBC＝4；△GEH为等腰三角形分成三种情况，

①EH＝EG，在Rt△EMG利用cos∠MEG与Rt△BQM中利用cos∠QBM列出方程解出t即可；②EG＝GH，过G作GK⊥BC于K，利用cos∠KEG与cos∠QBR列出方程解出t即可；③EH＝EG时，延长FG交BC于K，利用cos∠GEK 与cos∠QBK列出方程解出t即可

(1)证明：如图1，∵F、G关于BD对称，

∴FG⊥BD，FQ＝QG，

∵PF＝PE，

∴PQ是△EFG的中位线，

∴EG∥PQ；

(2)解：∵PH⊥BC，DC⊥BC，

∴PH∥DC，

∴，

当P为BD的中点时，即BP＝PD，

∴BH＝CH，此时E与H重合，如图2，

∴PHDCAB6＝3，

∴EF＝2PE＝6，

Rt△BCD中，BC＝8，CD＝6，

∴BD＝10，

∴△BCD的周长＝6+8+10＝24，

∵EG∥BD，

∴∠G＝∠PQF＝90°＝∠C，

∵∠PFQ＝∠CBD，

∴△BCD∽△FGE，

∴，即，

∴△EFG的周长；

(3)解：Rt△BPH中，BP＝t

cos∠PBH

∴，BHt

∵E是BC的中点

∴BE＝CEBC＝4

在点P的运动过程中，△GEH可以为等腰三角形，有以下三种情况：

①当EH＝EG＝4t时，如图3，

Rt△EMG中，cos∠MEG，EMEG(4t)＝5﹣t，

∴BM＝BE﹣EM＝4﹣(5﹣t)＝t﹣1，

由(1)知：PQEG＝2t，

∴BQ＝BP﹣PQ＝t﹣(2t)t﹣2，

Rt△BQM中，cos∠QBM，即，t＝2；

②当EG＝GH时，如图4，过G作GK⊥BC于K，

∴EK＝KG2t，

cos∠KEG，

∴EGEK，EREGEKEK(2t)t，

∴BR﹣4﹣ER＝4tt，

∵PQEG(2t)t，

∴BQ＝BP﹣PQ＝t﹣(t)t，

Rt△BQR中，cos∠QBR，即，t；

③当EH＝EG时，如图5，延长FG交BC于K，

EH＝EG＝4t，

∴PQ＝2t，

∴BQ＝t+PQ＝2t，

Rt△EGK中，cos∠GEK，

EK5﹣t，

BK＝4+5﹣t＝9﹣t，

Rt△BQK中，cos∠QBK，，t，

综上，t的值为2或或．