Question

11．如图，在△ABC中，AB=AC，点E、F分别在AB和AC上，CE与BF相交于点D．若AE=CF，D为BF的中点，则$\frac{AE}{AB}$的值为$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

Answer 1

分析 过F作FH∥AB交CE于H，首先证明△BED≌△FHD（SAS），得FH=BE；再证明△CFH∽△CAE，得到HF：AE=CF：AC，由已知可得CF=AE，AF=BE=HF，设AC=BA=1，AE=x，代入相似比中，即可解得x，即可得解AE：AB．

解答 解：过F作FH∥AB交CE于H，
∵FH∥AB，
∴∠HFD=∠EBD，
∵D为BF的中点，
∴BD=DF，
在△BED和△FHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BED=∠FHD}\\{∠EDB=∠HDF}\\{BD=DF}\end{array}\right.$
∴△BED≌△FHD（AAS），
∴FH=BE，
∵FH∥AB，
∴△CFH∽△CAE，
∴HF：AE=CF：AC，
∵AC=AB，CF=AE，
∴AF=BE=HF，
设AC=AB=1，AE=x，则$\frac{HF}{AE}=\frac{CF}{AC}$，即为$\frac{1-x}{x}=\frac{x}{1}$，
解得x=$\frac{\sqrt{5}}{2}-\frac{1}{2}$，
∴AE：AB=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．

点评 本题主要考查三角形全等的判定和性质、三角形相似的判定和性质及二元一次方程的解法，正确作出辅助线是解答此题的关键．