Question

3．如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的点，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，现有如下结论：
①BE=$\frac{1}{2}$GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH
其中，正确的结论有（　　）

• A． 1个
• B． 2个
• C． 3个
• D． 4个

Answer 1

分析 根据正方形的性质得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根据勾股定理得出BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE，即可判断①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根据SAS推出△GAE≌△CEF，即可判断②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判断③；求出∠FEC＜45°，根据相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判断④．

解答 解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC，
∵AG=CE，
∴BG=BE，
由勾股定理得：BE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$GE，∴①错误；
∵BG=BE，∠B=90°，
∴∠BGE=∠BEG=45°，
∴∠AGE=135°，
∴∠GAE+∠AEG=45°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°，
∵∠BEG=45°，
∴∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠GAE=∠FEC，
在△GAE和△CEF中
$\left\{\begin{array}{l}{AG=CE}\\{∠GAE=∠CEF}\\{AE=EF}\end{array}\right.$
∴△GAE≌△CEF，∴②正确；
∴∠AGE=∠ECF=135°，
∴∠FCD=135°-90°=45°，∴③正确；
∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°，
∴∠FEC＜45°，
∴△GBE和△ECH不相似，∴④错误；
即正确的有2个．
故选B．

点评 本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知识点的综合运用，综合比较强，难度较大．