Question

【题目】如图，、是正方形，在上，直线、交于，且，、交于，当在线段（不与、重合）上运动时，下列四个结论：①；②、所夹的锐角为；③；④若平分，则正方形的面积为4，其中结论正确的是__（填序号）

Answer 1

【答案】①②③④

【解析】

由已知条件可证得△BEC≌△DGC，∠EBC＝∠CDG，因为∠BDC＋∠DBH＋∠EBC＝90°，所以∠BDC＋∠DBH＋∠CDG＝90°，即∠BHD＝90°，故①正确；由题意得、、、、五点都在以为直径的圆上，根据圆周角定理即可得到∠AHD＝45°，故②正确；由②的五点共圆，可得∠BAH＝∠BDH，而∠ABD＝∠DBG＝45°，由此可判定△ABM∽△DBG，根据相似三角形的性质即可得到③正确；过作于，连接，若BE平分∠DBC，那么H是DG的中点，易证得，求出，然后证明，可得，即，由此可知④正确．

解：① ，，，

，

，

，

，

∴∠BHD＝90°，即，故①正确；

②由于、、都是直角，因此、、、、五点都在以为直径的圆上，由圆周角定理知：，故②正确；

③由②知：、、、、五点共圆，则，

又，

，

∴，

∴，故③正确；

④过作于，连接；

若BE平分∠DBC，且，

∴是中点，

∴垂直平分，

∴，为的中位线，

设，则，，，

，，

，

，，

，

∴，即，

，即，

，且，

，

∴，即，

∴，

∴，即正方形的面积为4，故④正确；

故答案为：①②③④．