Question

17．如图，直线y=-x+6与坐标轴交于A、B两点，与直线y=2x交于C点，直线是过A点且垂直x轴的直线，点P是直线l上的一动点．
（1）求C点的坐标；
（2）当△APC是等腰三角形时，直接写出P点的坐标；
（3）当PC⊥OC时，求四边形OAPC的面积．

Answer 1

分析 （1）联立两直线解析式，求出方程组的解即可得到C的坐标；
（2）对于直线y=-x+6，分别令x与y为0求出y与x的值，确定出A与B坐标，利用两点间的距离公式求出AC的长，如图所示，分三种情况考虑：当AC=AP₁=4$\sqrt{2}$时，△ACP₁为等腰三角形；当AC=CP₂=4$\sqrt{2}$时，△ACP₂为等腰三角形；当AP₃=CP₃时，线段AC垂直平分线与直线l交于点P₃，分别求出P坐标即可；
（3）根据直线OC解析式，以及PC与OC垂直，确定出CP解析式，继而求出P的坐标，四边形OAPC面积=三角形OCD面积+梯形ADCP面积，求出即可．

解答 解：（1）联立得：$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+6}\\{y=2x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=4}\end{array}\right.$，即C（2，4）；
（2）对于直线y=-x+6，
令x=0，得到y=6；令y=0，得到x=6，
即A（6，0），B（0，6），
∴AC=$\sqrt{（6-2）^{2}+（0-4）^{2}}$=4$\sqrt{2}$，
如图所示，分三种情况考虑：

当AC=AP₁=4$\sqrt{2}$时，△ACP₁为等腰三角形，此时P₁（6，4$\sqrt{2}$）；
当AC=CP₂=4$\sqrt{2}$时，△ACP₂为等腰三角形，此时P₂（6，8）；
当AP₃=CP₃时，线段AC垂直平分线与直线l交于点P₃，
∵线段AC垂直平分线的方程为y-2=x-4，
∴当x=6时，y=4，即P₃（6，4）；
（3）∵直线OC解析式为y=2x，且OC⊥CP，
∴直线CP解析式为y-4=-$\frac{1}{2}$（x-2），
把x=6代入得：y=2，即P（6，2），
则S_{四边形AOCP}=S_△OCD+S_梯形ADCP=$\frac{1}{2}$×2×4+$\frac{1}{2}$×（2+4）×4=4+12=16．

点评 此题属于一次函数综合题，涉及的知识有：两直线的交点坐标，坐标与图形性质，等腰三角形的性质，两直线垂直时斜率满足的关系，利用了分类讨论的思想，熟练掌握性质是解本题的关键．