Question

6．如图：四边形ABCD中，∠D=120°，∠C=75°，AD=4，CD=2$\sqrt{3}$-2，cosB=$\frac{3}{5}$，求BC的长．

Answer 1

分析 作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，连结CA，如图，先在Rt△ADE中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出DF、AF，于是可判断△FAC为等腰直角三角形，所以∠ACF=45°，AC=$\sqrt{2}$AF=2$\sqrt{6}$，这样可得∠ACE=30°，接着在Rt△ACE中，计算出AE，然后在Rt△ABE中，利用勾股定理和锐角三角函数求AB的长．

解答 解：作AE⊥BC于E，作AF⊥CD于F，连结CA，如图，
∵∠D=120°，
∴∠ADE=60°，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=30°，
∴DF=$\frac{1}{2}$AD=2，
AF=$\sqrt{3}$FD=2$\sqrt{3}$，
∴FC=DF+DC=2+2$\sqrt{3}$-2=2$\sqrt{3}$，
∴FA=FC，
∴△FAC为等腰直角三角形，
∴∠ACF=45°，AC=$\sqrt{2}$AF=2$\sqrt{6}$，
∵∠C=75°，
∴∠ACE=30°，
在Rt△ACE中，AE=$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{6}$，CE=$\sqrt{2}$，
在Rt△ABE中，cosB=$\frac{BE}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
设BE=3x，AB=5x，
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}-B{E}^{2}}$=4x，
∴4x=$\sqrt{6}$，解得x=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴BE=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$，
∴BC=BE+CE=$\frac{3\sqrt{6}}{4}$$+\sqrt{2}$=$\frac{3\sqrt{6}+4\sqrt{2}}{4}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．合理作辅助线是解决此题的关键．