Question

5．如图，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点C与点A重合，折痕交AD于点E、交BC于点F，连接AF、CE．①AF=CD′；②△CEF是等腰三角形；③四边形AFCE为菱形；④设AE=a，ED=b，DC=c，则a、b、c三者之间的数量关系为a²=b²+c²，其中正确的结论是②③④（将所有正确结论的序号都填在横线上）

Answer 1

分析 由矩形ABCD与折叠的性质，易证得△CEF是等腰三角形，即CE=CF，即可证得AF=CF=CE=AE，即可得四边形AFCE为菱形；由折叠的性质，可得CE=AE=a，在Rt△DCE中，利用勾股定理即可求得：a、b、c三者之间的数量关系式为：a²=b²+c²．

解答 解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠AEF=∠EFC，
由折叠的性质，可得：∠AEF=∠CEF，AE=CE，AF=CF，
∴∠EFC=∠CEF，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形（②正确）
∴AF=CF=CE=AE，
∴四边形AFCE为菱形，（③正确）（①错误CD′＞CE=AF）
由折叠的性质，得：CE=AE，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=90°，
∵AE=a，ED=b，DC=c，
∴CE=AE=a，
在Rt△DCE中，CE²=CD²+DE²，
∴a、b、c三者之间的数量关系式为：a²=b²+c²．（④正确）
故答案为：②③④．

点评 此题考查了矩形的性质、折叠的性质、菱形的判定以及勾股定理等知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用，注意折叠中的对应关系．