Question

2．已知在△ABC中，∠A=3∠C，∠ADB=45°，D为AC的中点，求证：∠ABC=90°．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AC交BC于E，连接AE，在DE上截取DF=AD，则DE垂直平分AC，∠ADF=CDE=90°，得出AE=CE，∠1=∠C，证出AB=BE，由SAS证明△FBD≌△ABD，得出∠F=∠BAD，BF=AB，得出BF=BE，由等腰三角形的性质得出∠4=∠F，得出∠5=∠4，由∠5+∠C=90°，得出∠BAD+∠C=90°，即可得出结论．

解答 证明：过点D作DE⊥AC交BC于E，连接AE，在DE上截取DF=AD，如图所示：
则DE垂直平分AC，∠ADF=CDE=90°，
∴AE=CE，
∴∠1=∠C，
∵∠BAC=3∠C，
∴∠2=2∠C，
又∵∠3=∠1+∠C=2∠C，
∴∠2=∠3，
∴AB=BE，
∵∠ADB=45°，
∴∠FDB=90-45°=45°=∠ADB，
在△FBD和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{DF=AD}&{\;}\\{∠FDB=∠ADB}&{\;}\\{BD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△FBD≌△ABD（SAS），
∴∠F=∠BAD=3∠C，BF=AB，
∴BF=BE，
∴∠4=∠F=3∠C，
∴∠5=∠4=3∠C，
∵∠5+∠C=90°，
∴∠BAD+∠C=90°，
∴∠ABC=90°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，有一定难度．