Question

9．已知$\sqrt{15+{x}^{2}}$-$\sqrt{19-{x}^{2}}$=2，求$\sqrt{19-{x}^{2}}$+2$\sqrt{15+{x}^{2}}$的值．

Answer 1

分析 设$\sqrt{15+{x}^{2}}$=a≥0、$\sqrt{19-{x}^{2}}$=b≥0，可得a-b=2，即a=2+b，从而有a²+b²=15+x²+19-x²=34，即（2+b）²+b²=34，解之求得b=3，即19-x²=9，将x²的值代入求值即可．

解答 解：设$\sqrt{15+{x}^{2}}$=a≥0，$\sqrt{19-{x}^{2}}$=b≥0，
则a-b=2，即a=2+b，
∵15+x²=a²，19-x²=b²，
∴a²+b²=15+x²+19-x²=34，
将a=2+b代入得：（2+b）²+b²=34，
整理，得：b²+2b-15=0，
解得：b=3或b=-5（舍），
∴19-x²=9，
∴x²=10，
则$\sqrt{19-{x}^{2}}$+2$\sqrt{15+{x}^{2}}$=$\sqrt{9}$+2×$\sqrt{25}$=3+2×5=13．

点评 本题主要考查二次根式的化简求值，熟练掌握换元思想求得x²的值是解题的关键．