Question

【题目】已知P（a，y1），Q（1，y2）是抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2（k是不等于0的常数）上的两点．

（1）求证：无论k取任何实数时，关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0总有实数根；

（2）当k＝1时，

①求抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点坐标，并画出此条抛物线的草图；

②若y1＞y2，请结合函数图象确定实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①(﹣2，0)、(﹣1，0)，作图见解析；②a＜﹣4或a＞1

【解析】

（1）计算的值，根据≥0可得结论；
（2）①先将k=1代入得：y=x2+3x+2，令y=0可以计算抛物线与x轴两个交点坐标，并画出抛物线；
②根据图象找到Q关于对称轴的对称点A的坐标，可得a的取值范围．

解：（1）kx2+（2k+1）x+2＝0，

＝（2k+1）2﹣4k×2＝4k2+4k+1﹣8k＝4k2﹣4k+1＝（2k﹣1）2≥0，

∴无论k取任何实数时，关于x的方程kx2+（2k+1）x+2＝0总有实数根；

（2）①当k＝1时，y＝kx2+（2k+1）x+2＝x2+3x+2，

当y＝0时，x2+3x+2＝0，

（x+1）（x+2）＝0，

x1＝﹣1，x2＝﹣2，

∴抛物线y＝kx2+（2k+1）x+2图象与x轴两个交点坐标分别为（﹣2，0）、（﹣1，0），

列表如下：

x	-4	-3	-2	-	-1	0	1
y	6	2	0	﹣	0	2	6

描点、连线可得抛物线的草图如图所示：

②由y＝x2+3x+2＝（x+）2﹣可知，

∴抛物线的对称轴是：x＝﹣．

由对称性得：点Q关于抛物线的对称轴对称的点A的坐标为（﹣4，y2），

∵P（a，y1），Q（1，y2）

∴若y1＞y2，实数a的取值范围是a＜﹣4或a＞1．