Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，顶点为，直线与轴相交于点

（1）求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）；

（2）的长是否与值有关，说明你的理由；

（3）设，求的取值范围；

（4）以为斜边，在直线的左下方作等腰直角三角形.设，直接写出关于的函数解析式及自变量的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）顶点D（﹣1，-4a）；（2）OE=3，OE的长与a值无关，理由见解析；（3）；（4）n=﹣m﹣1（m＜1），理由见解析．

【解析】

（1）根据待定系数法，得，从而得y=ax2+2ax-3a，进而得到顶点的坐标；

（2）由y=ax2+2ax﹣3a，得C(0，﹣3a),D(﹣1，﹣4a)，从而得点E的坐标，即可得到结论；

（3）当β=45°时，OC=OE=3，求出a=﹣1，当β=60°时，OC=3，求出a=﹣，进而即可求解；

（4）作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N，易证△DPM≌△EPN，得PM=PN，DM=EN，结合D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，，即可得到结论．

（1）把，代入函数，得：

，解得：，

∴二次函数解析式为：y=ax2+2ax-3a，

∴顶点D(﹣1，-4a)；

（2）OE的长与a值无关，理由如下：

∵y=ax2+2ax﹣3a，

∴C(0，﹣3a),

∵D(﹣1，﹣4a)，

∴直线CD的解析式为：y=ax﹣3a，

∴当y=0时，x=3，

∴E(3，0)，

∴OE=3，

∴OE的长与a值无关；

（3）当β=45°时，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣1，

当β=60°时，在Rt△OCE中，OC=OE=3，

∴﹣3a=3，

∴a=﹣，

∴45°≤β≤60°时，a的取值范围为：；

（4）n=﹣m﹣1，m＜1，理由如下：

作PM⊥对称轴于M，PN⊥AB于N．

∵PD=PE，∠PMD=∠PNE=90°，∠DPE=∠MPN=90°，

∴∠DPM=∠EPN，

∴△DPM≌△EPN（AAS），

∴PM=PN，DM=EN．

∵D(﹣1，﹣4a)，E(3，0)，，

∴由PM=PN，得：-1-n=m，

∴n=﹣m﹣1，

当顶点D在x轴上时，P(1，﹣2)，此时m的值1．

∵抛物线的顶点在第二象限，

∴m＜1，

∴n=﹣m﹣1（m＜1）．