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    【题目】已知:如图，BD为△ABC的角平分线，且BD=BC，E为BD延长线上的一点，BE=BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论:①△ABD≌△EBC；②∠BCE+∠BCD=180°；③AD=EF=EC；④AE=EC，其中正确的是________(填序号)

    【答案】①②④

    【解析】

    易证△ABD≌△EBC,可得 可得①②正确,再根据角平分线的性质可求得,即,根据可求得④正确.

    ①BD为△ABC的角平分线,


    在△ABD和△EBC中,

    △ABD≌△EBC,
    ①正确;
    ②BD为△ABC的角平分线,,BD=BC,BE=BA,


    △ABD≌△EBC


    ②正确;

    ③



    为等腰三角形,
    ,
    △ABD≌△EBC,


    BD为△ABC的角平分线,,而EC不垂直与BC,

    ③错误; ④正确.

    故答案为:①②④.

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    下面以三等分∠ABC为例说明利用勾尺三等分锐角的过程：

    第一步：画直线DE使DE∥BC，且这两条平行线的距离等于PQ；

    第二步：移动勾尺到合适位置，使其顶点P落在DE上，使勾尺的MN边经过点B，同时让点R落在∠ABC的BA边上；

    第三步：标记此时点Q和点P所在位置，作射线BQ和射线BP．

    请完成第三步操作，图中∠ABC的三等分线是射线　 　、　 　．

    （2）在（1）的条件下补全三等分∠ABC的主要证明过程：

    ∵　 　，BQ⊥PR，

    ∴BP＝BR．（线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）

    ∴∠　 　＝∠　 　．

    ∵PQ⊥MN，PT⊥BC，PT＝PQ，

    ∴∠　 　＝∠　 　．

    （角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上）

    ∴∠　 　＝∠　 　＝∠　 　．

    （3）在（1）的条件下探究：是否成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，请在图2中∠ABC的外部画出（无需写画法，保留画图痕迹即可）．

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    【题目】如图，在等边△ABC中，AB=10，BD=4，BE=2，点P从点E出发沿EA方向运动，连结PD，以PD为边，在PD的右侧按如图所示的方式作等边△DPF，当点P从点E运动到点A时，点F运动的路径长是________．

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    【题目】如图，已知点A、C分别在∠GBE的边BG、BE上，且AB=AC，AD∥BE，∠GBE的平分线与AD交于点D，连接CD．

    （1）求证：AB=AD；

    （2）求证：CD平分∠ACE．

    （3）猜想∠BDC与∠BAC之间有何数量关系？并对你的猜想加以证明．

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    (1)求直线和抛物线的解析式；

    (2)如果D为抛物线上一点，使得△AOD与△OBC的面积相等，求D点坐标。

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    探究：当点E在边AB上，求证：EF=AE+CF．

    应用：（1）当点E在边AB上，且AD=2时，则△BEF的周长是______．

    （2）当点E不在边AB上时，EF，AE，CF三者的数量关系是______．

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    （2）当C为BD的中点时， ABC与EDC全等吗？若全等，请说明理由；若不全等，请改变BD的长（直接写出答案），使它们全等。

    （3）若AC=CE ,试求DE的长

    （4）在线段BD的延长线上，是否存在点C，使得AC=CE，若存在，请求出DE的长及△AEC的面积；若不存在，请说明理由。

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