Question

【题目】如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．

（1）求证：；

（2）求的度数；

（3）若，求的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）15°；（3）2+2．

【解析】

（1）在直角三角形ABC中，由AC=2AB，得到∠ACB=30°，再由折叠的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证；
（2）由（1）得到△ABB′为等边三角形，利用矩形的性质及等边三角形的内角为60°，即可求出所求角度数；
（3）连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，分别利用三角函数定义求出MF与AM，根据AM=BM，即BM+MF=BF即可求出．

（1）证明：∵在Rt△ABC中，AC=2AB，
∴∠ACB=∠AC′B′=30°，∠BAC=60°，
由旋转可得：AB′=AB，∠B′AC′=∠BAC=60°，
∴∠EAC′=∠AC′B′=30°，

∴AE=C′E；
（2）解：由（1）得到△ABB′为等边三角形，
∴∠AB′B=60°，即∠BB'F=∠AB'B+∠AB'F=150°，
∵BB'=B'F，
∴∠FBB′=∠B'FB=15°；
（3）解：连接AF，过A作AM⊥BF，可得△AB′F是等腰直角三角形，△AB′B为等边三角形，
∴∠AFB′=45°，∠BB′F=150°，
∵BB′=B′F，
∴∠B′FB=∠B′BF=15°，
∴∠AFM=30°，∠ABF=45°，
在Rt△AMF中，AM=BM=ABcos∠ABM=2=2，
在Rt△AMF中，MF=AM=2，
则BF=2+2．