Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，△AOB为等边三角形，P是x轴负半轴上一个动点(不与原点O重合)，以线段AP为一边在其右侧作等边三角形△APQ．

（1）求点B的坐标；

（2）在点P的运动过程中，∠ABQ的大小是否发生改变？如不改变，求出其大小；如改变，请说明理由；

（3）连接OQ，当OQ∥AB时，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】（1）B（）；（2）∠ABQ=90°，始终不变，理由详见解析；（3）P()

【解析】

（1）过点B作BC⊥x轴于点C，证明∠BOC=30°，OB=4，借助含30°的直角三角形的性质以及勾股定理可求出BC，OC的长，从而可解决问题；
（2）证明△APO≌△AQB，得到∠ABQ=∠AOP=90°，即可解决问题；
（3）根据AB∥OQ，得出∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，从而可求出BQ的长，再根据（2）中△APO≌△AQB得出PO=BQ，即可得出结果．

解：（1）如图1，过点B作BC⊥x轴于点C，

∵△AOB为等边三角形，且OA=4，
∴∠AOB=60°，OB=OA=4，
∴∠BOC=30°，而∠OCB=90°，
∴BC=OB=2，∴OC=，

∴点B的坐标为B（2，2）；
（2）∠ABQ=90°，始终不变．理由如下：
∵△APQ、△AOB均为等边三角形，
∴AP=AQ，AO=AB，∠PAQ=∠OAB，
∴∠PAO=∠QAB，
在△APO与△AQB中，

，

∴△APO≌△AQB（SAS），
∴∠ABQ=∠AOP=90°；
（3）如图2，∵点P在x轴负半轴上，点Q在点B的下方，AB∥OQ，∠ABQ=90°，

∴∠BQO=90°，∠BOQ=∠ABO=60°，

∴∠OBQ=30°，
又∵OB=4，

∴OQ=2，

∴BQ=，
由（2）可知，△APO≌△AQB，
∴OP=BQ=2，
∴此时点P的坐标为（-2，0）．