Question

【题目】如图，已知抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6）．

（1）求抛物线的表达式；

（2）证明：四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

（3）在四边形AOBC的内部能否截出面积最大的DEFG？（顶点D，E，F，G分别在线段AO，OB，BC，CA上，且不与四边形AOBC的顶点重合）若能，求出DEFG的最大面积，并求出此时点D的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)、y=x2﹣x+4；(2)、证明过程见解析；(3)、最大值为12，此时D点坐标为（2，0）

【解析】

试题(1)、根据抛物线经过点A（4，0），B（0，4），C（6，6），利用待定系数法，求出抛物线的表达式即可；(2)、利用两点间的距离公式分别计算出OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，则OA=OB，CA=CB，根据线段垂直平分线定理的逆定理得到OC垂直平分AB，所以四边形AOBC的两条对角线互相垂直；(3)、如图2，利用两点间的距离公式分别计算出AB=4，OC=6，设D（t，0），根据平行四边形的性质四边形DEFG为平行四边形得到EF∥DG，EF=DG，再由OC垂直平分AB得到△OBC与△OAC关于OC对称，则可判断EF和DG为对应线段，所以四边形DEFG为矩形，DG∥OC，则DE∥AB，于是可判断△ODE∽△OAB，利用相似比得DE=t，接着证明△ADG∽△AOC，利用相似比得DG=（4﹣t），所以矩形DEFG的面积=DEDG=t（4﹣t）=﹣3t2+12t，然后根据二次函数的性质求平行四边形DEFG的面积的最大值，从而得到此时D点坐标．

试题解析：(1)、设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c， 根据题意得，解得，

∴抛物线的表达式为y=x2﹣x+4；

(2)、如图1，连结AB、OC， ∵A（4，0），B（0，4），C（6，6），

∴OA=4，OB=4，CB=2，CA=2，

∴OA=OB，CA=CB， ∴OC垂直平分AB， 即四边形AOBC的两条对角线互相垂直；

(3)、能． 如图2，AB=4，OC=6，设D（t，0），

∵四边形DEFG为平行四边形， ∴EF∥DG，EF=DG， ∵OC垂直平分AB，

∴△OBC与△OAC关于OC对称， ∴EF和DG为对应线段， ∴四边形DEFG为矩形，DG∥OC，

∴DE∥AB，∴△ODE∽△OAB，∴=，即=，解得DE=t， ∵DG∥OC，

∴△ADG∽△AOC，∴=，即=，解得DG=（4﹣t），

∴矩形DEFG的面积=DEDG=t（4﹣t）=﹣3t2+12t=﹣3（t﹣2）2+12，

当t=2时，平行四边形DEFG的面积最大，最大值为12，此时D点坐标为（2，0）．