[题目]如图一.在射线的一侧以为一条边作矩形...点是线段上一动点(不与点重合).连结.过点作的垂线交射线于点.连接．(1)求的大小,(2)问题探究:动点在运动的过程中.①是否能使为等腰三角形.如果能.求出线段的长度,如果不能.请说明理由．②的大小是否改变?若不改变.请求出的大小,若改变.请说明理由．(3)问题解决:如图二.当动点运动到的中点时.与的交点为.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图一，在射线的一侧以为一条边作矩形，，，点是线段上一动点（不与点重合），连结，过点作的垂线交射线于点，连接．

（1）求的大小；

（2）问题探究：动点在运动的过程中，

①是否能使为等腰三角形，如果能，求出线段的长度；如果不能，请说明理由．

②的大小是否改变？若不改变，请求出的大小；若改变，请说明理由．

（3）问题解决：

如图二，当动点运动到的中点时，与的交点为，的中点为，求线段的长度．

【答案】（1）；（2）①能，的值为5或；②大小不变，；（3）.

【解析】

（1）在中，求出的正切值即可解决问题．

（2）①分两种情形：当时，当时，分别求解即可．

②．利用四点共圆解决问题即可．

（3）首先证明是等边三角形，再证明垂直平分线段，解直角三角形即可解决问题．

解：（1）如图一（1）中，

∵四边形是矩形，

∴，

∵，

∴．

（2）①如图一（1）中，当时，

∵，，，

∴，

在中，∵，，

∴，

∵，，

∴是等边三角形，

∴，

∴．

如图一（2）中，当时，易证，

∵，

∴，∵，

∴，

综上所述，满足条件的的值为5或．

②结论：大小不变．

理由：如图一（1）中，∵，

∴四点共圆，

∴．

如图一（2）中，∵，

∴四点共圆，

∴，

∵，

∴，

综上所述，．

（3）如图二中，

∵，

∴，

∴是等边三角形，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴垂直平分线段，

∴，

∵，，

∴．

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