【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=mx2﹣2mx+n(m<0)的顶点为A,与x轴交于B,C两点(点B在点C左侧),与y轴正半轴交于点D,连接AD并延长交x轴于E,连AC、DC.S△DEC:S△AEC=3:4.
(1)求点E的坐标;
(2)△AEC能否为直角三角形?若能,求出此时抛物线的函数表达式;若不能,请说明理由.
【答案】(1)E(﹣3,0);(2)二次函数解析式为:y=﹣x2+
x+
.
【解析】试题分析:(1)根据题意画出图形,再利用相似三角形的判定与性质得出EO:OF=3:1,进而得出EO的长即可得出答案;
(2)由题意可知,AE,AC不可能与x轴垂直,再得出△EFA∽△AFC,求出m的值,进而得出答案.
试题解析:解:(1)如图所示:设此抛物线对称轴与x轴交于点F,∴S△DEC:S△AEC=DO:AF=3:4.∵DO∥AF,∴△EDO∽△EAF,∴EO:EF=DO:AF=3:4,∴EO:OF=3:1,由y=mx2﹣2mx+n(m<0)得:A(1,n﹣m),D(0,n),∴OF=1,∴EO=3,∴E(﹣3,0);
(2)∵DO:AF=3:4,∴=
,∴n=﹣3m,∴y=mx2﹣2mx﹣3m=m(x2﹣2x﹣3)
=m(x﹣3)(x+1),∴B(﹣1,0),C(3,0),A(1,﹣4m),由题意可知,AE,AC不可能与x轴垂直,∴若△AEC为直角三角形,则∠EAC=90°.又∵AF⊥EC,可得:△EFA∽△AFC,∴=
,即
=
.∵m<0,∴m=﹣
,∴二次函数解析式为:y=﹣
x2+
x+
.
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【题目】《九章算术》是中国传统数学最重要的著作,奠定了中国传统数学的基本框架.它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术.其中,方程术是《九章算术》最高的数学成就.
《九章算术》中记载:“今有人共买鸡,人出九,盈十一;人出六,不足十六.问人数、鸡价各几 何?
译文:假设有几个人共同出钱买鸡,如果每人出九钱,那么多了十一钱;如果每人出六钱,那么少了十六钱.问:有几个人共同出钱买鸡?鸡的价钱是多少:”
设有x个人共同买鸡,鸡的价钱是y钱,根据题意可列方程组为__________.
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【题目】国家规定,中小学生每天在校体育活动时间不低于.为此,某县就“你每天在校体育活动时间是多少”的问题,随机调查了辖区内300名初中学生.根据调查结果绘制成统计图如图所示,其中
组为
,
组为
,
组为
,
组为
.
请根据上述信息解答下列问题:
(1)本次调查数据的中位数落在______组内,众数落在______组内;
(2)若该辖区约4000名初中生,请你估计其中达到国家规定体育活动时间的人数;
(3)若组取
,
组取
,
组取
,
组取
,试计算这300名学生平均每天在校体育活动的时间.
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【题目】把下列各数对应的序号填入表示它所在的数集的括号里.
﹣(﹣2.3),,0,﹣
,30%,π,﹣|﹣2013|,﹣5
,0.333333…
正数集合{__________________________…};
负整数集合{________________________…};
分数集合{__________________________…};
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【题目】如图,在一正方形ABCD中,E为对角线AC上一点,连接EB、ED.
(1)求证:△BEC≌△DEC;
(2)延长BE交AD于点F,若∠DEB=150°.求∠AFE的度数.
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【题目】某校为了迎接体育中考,了解学生的体质情况,学校随机调查了本校九年级名学生“
秒跳绳”的次数,并将调查所得的数据整理如下:
秒跳绳次数的频数、频率分布表
秒跳绳次数的频数分布直方图
、
根据以上信息,解答下列问题:
(1)表中, ,
;
(2)请把频数分布直方图补充完整;
(3)若该校九年级共有名学生,请你估计“
秒跳绳”的次数
以上(含
次)的学生有多少人?
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【题目】观察下列单项式:,
,
,
,
,
,
,
写出第
个单项式,为了解决这个问题,特提供下面的解题思路.
(1)这组单项式的系数依次为多少?系数符号的规律是什么?系数绝对值规律是什么?
(2)这组单项式的次数的规律是什么?
(3)根据上面的归纳,你可以猜想出第个单项式是什么?
(4)请你根据猜想,写出第个,第
个单项式.
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【题目】如图,己知△ABC,任取一点O,连接AO,BO,CO,并取它们的中点D,E,F,得△DEF,则下列说法:①△ABC与△DEF是位似图形;②△ABC与△DEF是相似图形;③△ABC与△DEF的周长比为1∶2;④△ABC与△DEF的面积比为4∶1. 正确的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
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【题目】从2012年7月1日起某市执行新版居民阶梯电价,小明同学家收到了新政后的第一张电费单,小明爸爸说:“小明,请你计算一下,这个月的电费支出与新政前相比是多了还是少了?”于是小明上网了解了有关电费的收费情况,得到如下两表:
2004年1月至2012年6月执行的收费标准:
月用电量(度)50度有以下部分 | 50度有以下部分 | 超过50度但不超过200度部分 | 超过200度以上部分 |
单价(元/度) | 0.53 | 0.56 | 0.63 |
2012年7月起执行的收费标准:
月用电量(度) | 230度有以下部分 | 超过230度但不超过400度部分 | 超过400度以上部分 |
单价(元/度) | 0.53 | 0.58 | 0.83 |
(1)若小明家2012年7月份的用电量为200度,则小明家7月份的电费支出是多少元?比新政前少了多少元?
(2)若新政后小明家的月用电量为a度,请你用含a的代数式表示当月的电费支出.
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