Question

已知二次函数y=ax²+bx+c的图象如图所示，有以下结论：
①abc＞0；②a-b＞m（am+b）（其中m≠-1）；③a²+c²＜b²-2ac；④4a-2b+c＜0；⑤c-a＞1．
其中结论正确的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口向下得a＜0，由抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1得b=2a＜0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据x=-1时，函数值有最大值可对②进行判断；由于b=2a，c=1，则b²-2ac-a²-c²=（3a+1）（a-1），而a＜0，则当a＜-

1

3

时，b²-2ac-a²-c²＞0，则可对③进行判断；
根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，则当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，于是可对④进行判断；由于c=1，a＜0，则可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-

b

2a

=-1，
∴b=2a＜0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正确；
∵x=-1时，函数值有最大值，
∴a-b+c＞am²+bm+c（m≠-1），
∴a-b＞m（am+b）（其中m≠-1），所以②正确；
∵b=2a，c=1，
∴b²-2ac-a²-c²=3a²-2a-1=（3a+1）（a-1），
而a＜0，
∴当a＜-

1

3

时，b²-2ac-a²-c²＞0，所以③错误；
∵抛物线与x轴的一个交点在原点和（1，0）之间，
∴抛物线与x轴的一个交点在点（-3，0）和（-2，0）之间，
∴当x=-2时，y＞0，即4a-2b+c＞0，所以④错误；
∵c=1，a＜0，
∴c-a＞1，所以⑤正确．
故选C．

点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-

b

2a

；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）；当b²-4ac＞0，抛物线与x轴有两个交点；当b²-4ac=0，抛物线与x轴有一个交点；当b²-4ac＜0，抛物线与x轴没有交点．