Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，AB=10cm．点P从点A出发，以5cm/s的速度从点A运动到终点B；同时，点Q从点C出发，以3cm/s的速度从点C运动到终点B，连结PQ；过点P作PD⊥AC交AC于点D，将△APD沿PD翻折得到△A′PD，以A′P和PB为邻边作A′PBE，A′E交射线BC于点F，交射线PQ于点G．设A′PBE与四边形PDCQ重叠部分图形的面积为Scm2，点P的运动时间为ts．

（1）当t为何值时，点A′与点C重合；

（2）用含t的代数式表示QF的长；

（3）求S与t的函数关系式；

（4）请直接写出当射线PQ将A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时t的值．

Answer 1

【答案】（1）t=1（2）当0＜t≤时，QF=6﹣9t；当＜t＜2时，QF=9t﹣6．

当0＜t≤时，S=12t2；当＜t≤1时，S=﹣42t2+72t﹣24：当1＜t＜2时，S=6t2﹣24t+24．

t的值为秒或秒．

【解析】

（1）易证△ADP∽△ACB，从而可得AD=4t，由折叠可得AA′=2AD=8t，由点A′与点C重合可得8t=8，从而可以求出t的值．

（2）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．

（3）根据点F的位置不同，可分点F在BQ上（不包括点B）、在CQ上（不包括点Q）、在BC的延长线上三种情况进行讨论，就可解决问题．

（4）可分①S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，如图7，②S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，两种情况进行讨论，就可解决问题．

试题

试题解析：（1）如图1，

由题可得：PA′=PA=5t，CQ=3t，AD=A′D．

∵∠ACB=90°，AC=8，AB=10，∴BC=6．

∵∠ADP=∠ACB=90°，

∴PD∥BC．

∴△ADP∽△ACB．

∴．

∴．

∴AD=4t，PD=3t．

∴AA′=2AD=8t．

当点A′与点C重合时，AA′=AC．

∴8t=8．

∴t=1．

（2）①当点F在线段BQ上（不包括点B）时，如图1，

则有CQ≤CF＜CB．

∵四边形A′PBE是平行四边形，

∴A′E∥BP．

∴△CA′F∽△CAB．

∴ ．

∴．

∴CF=6﹣6t．

∴3t≤6﹣6t＜6．

∴0＜t≤ ．

此时QF=CF﹣CQ=6﹣6t﹣3t=6﹣9t．

②当点F在线段CQ上（不包括点Q）时，如图2，

则有0≤CF＜CQ．

∵CF=6﹣6t，CQ=3t，

∴0≤6﹣6t＜3t．

∴＜t≤1．

此时QF=CQ﹣CF=3t﹣（6﹣6t）=9t﹣6．

③当点F在线段BC的延长线上时，如图3，

则有AA′＞AC，且AP＜AB．

∴8t＞8，且5t＜10．

∴1＜t＜2．

同理可得：CF=6t﹣6．

此时QF=QC+CF=3t+6t﹣6=9t﹣6．

综上所述：当0＜t≤时，QF=6﹣9t；当＜t＜2时，QF=9t﹣6．

（3）①当0＜t≤时，

过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图4，

则有A′M=CQ=3t．

∵，

∴，

∵∠PBQ=∠ABC，

∴△BPQ∽△BAC．

∴∠BQP=∠BCA．

∴PQ∥AC．

∵AP∥A′G．

∴四边形APGA′是平行四边形．

∴PG=AA′=8t．

∴S=S△A′PG=PGA′M

=×8t×3t=12t2．

②当＜t≤1时，

过点 A′作A′M⊥PG，垂足为M，如图5，

则有A′M=QC=3t，PQ=DC=8﹣4t，PG=AA′=8t，QG=PG﹣PQ=12t﹣8，QF=9t﹣6．．

∴S=S△A′PG﹣S△GQF

=PGA′M﹣QGQF

=×8t×3t﹣×（12t﹣8）×（9t﹣6）

=﹣42t2+72t﹣24．

③当1＜t＜2时，如图6，

∵PQ∥AC，PA=PA′

∴∠BPQ=∠PAA′，∠QPA′=∠PA′A，∠PAA′=∠PA′A．

∴∠BPQ=∠QPA′．

∵∠PQB=∠PQS=90°，

∴∠PBQ=∠PSQ．

∴PB=PS．

∴BQ=SQ．

∴SQ=6﹣3t．

∴S=S△PQS=PQQS=×（8﹣4t）×（6﹣3t）=6t2﹣24t+24．

综上所述：当0＜t≤时，S=12t2；当＜t≤1时，S=﹣42t2+72t﹣24：当1＜t＜2时，S=6t2﹣24t+24．

（4）①若S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，

过点A′作A′M⊥PG，垂足为M，过点A′作A′T⊥PB，垂足为T，如图7，

则有A′M=PD=QC=3t，PG=AA′=8t．

∴S△A′PG=×8t×3t=12t2．

∵S△APA′=APA′T=AA′PD，

∴A′T=

∴SPBEA′=PBA′T=（10﹣5t）×=24t（2﹣t）．

∵S△A′PG：S四边形PBEG=1：3，

∴S△A′PG=×SPBEA′．

∴12t2=×24t（2﹣t）．

∵t＞0，

<>∴t=．

②若S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，如图8，

同理可得：∠BPQ=∠A′PQ，BQ=6﹣3t，PQ=8﹣4t，SPBEA′=24t（2﹣t）．

∵四边形PBEA′是平行四边形，

∴BE∥PA′．

∴∠BNP=∠NPA′．

∴∠BPN=∠BNP．

∴BP=BN．

∵∠BQP=∠BQN=90°，

∴PQ=NQ．

∴S△BPN=PNBQ=PQBQ

=（8﹣4t）×（6﹣3t）．

∵S△BPN：S四边形PNEA′=1：3，

∴S△BPN=×SPBEA′．

∴（8﹣4t）×（6﹣3t）=×24t（2﹣t）．

∵t＜2，

∴t=．

综上所述：当射线PQ将A′PBE分成的两部分图形的面积之比是1：3时，t的值为秒或秒．