Question

16．如图，正方形OABC的顶点A在y轴的正半轴上，顶点C在x轴的负半轴上，反比例函数y=-$\frac{9}{x}$在第二象限的图象经过点B，点D坐标为（-2，0），将正方形沿BD翻折，使点C落在E处，分别延长BE、DE角y轴于点F和G，则线段FG的长度是$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 连接CE，交BD于点H，先根据四边形OABC是正方形，反比例函数y=-$\frac{9}{x}$在第二象限的图象经过点B得出B点坐标，由翻折变换的性质可知点H为点段CE的中点，再利用待定系数法求出直线BD与CE的解析式，故可得出H点的坐标，进而得出E点坐标，利用待定系数法求出直线BE与DG的解析式可得出G、F的坐标，进而可得出结论．

解答 解：连接CE，交BD于点H，
∵四边形OABC是正方形，反比例函数y=-$\frac{9}{x}$在第二象限的图象经过点B，
∴B（-3，3）．
∵△BDE由△BDC翻折而成，
∴BD是线段CE的垂直平分线．
设直线BD的解析式为y=kx+b（k≠0），
∵B（-3，3），D（-2，0），
∴$\left\{\begin{array}{l}-3k+b=3\\-2k+b=0\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=-3\\ b=-6\end{array}\right.$，
∴直线BD的解析式为y=-3x-6．
∵BD⊥CE，
∴设直线CE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+a，
∴C（-3，0），
∴0=-1+a，解得a=1，
∴直线CE的解析式为y=$\frac{1}{3}$x+1，
∴$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{1}{3}x+1\\ y=-3x-6\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{21}{10}\\ y=\frac{3}{10}\end{array}\right.$，
∴H（-$\frac{21}{10}$，$\frac{3}{10}$）．
∴E（-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$）．
设直线BF的解析式为y=cx+d（c≠0）
∵B（-3，3），E（-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}-3c+d=3\\-\frac{6}{5}c+d=\frac{3}{5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}c=-\frac{4}{3}\\ d=-1\end{array}\right.$，
∴直线BF的解析式为y=-$\frac{4}{3}$x-1，
∴F（0，-1）．
设直线DG的解析式为y=mx+n（m≠0），
∵D（-2，0），E（-$\frac{6}{5}$，$\frac{3}{5}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}-2m+n=0\\-\frac{6}{5}m+n=\frac{3}{5}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}m=\frac{3}{4}\\ n=\frac{3}{2}\end{array}\right.$，
∴直线DG的解析式为y=$\frac{3}{4}$x+$\frac{3}{2}$，
∴G（0，$\frac{3}{2}$），
∴GF=$\frac{3}{2}$+1=$\frac{5}{2}$．
故答案为：$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、翻折变换的性质及用待定系数法求一次函数的解析式等知识，解题的关键是作出辅助线，利用翻折变换的性质求出E点坐标．