[题目]如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB.EF的中点均为O,连结BF.CD.CO,显然点C, F, O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD.则BF=CD,解决问题(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②.猜想此时线段BF与CD的数量关系.并证明你的结论,(2)如图③,若△ABC与△DEF都是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图①,△ABC与△DEF都是等腰直角三角形,∠ACB=∠EDF=90°,且点D在AB边上,AB、EF的中点均为O,连结BF、CD、CO,显然点C, F, O在同一条直线上,可以证明△BOF≌△COD，则BF=CD,

解决问题

(1)将图①中的Rt△DEF绕点O旋转得到图②，猜想此时线段BF与CD的数量关系，并证明你的结论；

(2)如图③,若△ABC与△DEF都是等边三角形,AB、EF的中点均为O,上述(1)中的结论仍然成立吗?如果成立，请说明理由；如不成立，请求出BF与CD之间的数量关系；

(3)如图④,若△ABC与△DEF都是等腰三角形,AB、EF的中点均为0,且顶角∠ACB=∠EDF=α,请直接写出的值(用含α的式子表示出来)

【答案】（1）BF=CD，证明见解析；（2）不成立，见解析；（3） .

【解析】

（1）如答图②所示，连接OC、OD，证明△BOF≌△COD；

（2）如答图③所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为；

（3）如答图④所示，连接OC、OD，证明△BOF∽△COD，相似比为tan

(1)猜想：BF=CD.理由如下：

如答图②所示，连接OC、OD.

∵△ABC为等腰直角三角形，点O为斜边AB的中点，

∴OB=OC,∠BOC=90°.

∵△DEF为等腰直角三角形，点O为斜边EF的中点，

∴OF=OD,∠DOF=90°.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

∵在△BOF与△COD中，

∴△BOF≌△COD(SAS)，

∴BF=CD.

(2)答：(1)中的结论不成立。

如答图③所示，连接OC、OD.

∵△ABC为等边三角形，点O为边AB的中点，

∴ =tan30°= ,∠BOC=90°.

∵△DEF为等边三角形，点O为边EF的中点，

∴ =tan30°= ,∠DOF=90°.

∴ = =.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF与△COD中，

∵ = =，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴.

(3)如答图④所示，连接OC、OD.

∵△ABC为等腰三角形，点O为底边AB的中点，

∴OBOC=tanα2,∠BOC=90°.

∵△DEF为等腰三角形，点O为底边EF的中点，

∴ =tan ,∠DOF=90°.

∴ = =tan.

∵∠BOF=∠BOC+∠COF=90°+∠COF,∠COD=∠DOF+∠COF=90°+∠COF，

∴∠BOF=∠COD.

在△BOF与△COD中，

∵ = =tan，∠BOF=∠COD，

∴△BOF∽△COD，

∴ tan

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