Question

【题目】如图，在矩形ABCD中，点E为CD上一点，将△BCE沿BE翻折后点C恰好落在AD边上的点F处，将线段EF绕点F旋转，使点E落在BE上的点G处，连接CG.

(1)证明：四边形CEFG是菱形；

(2)若AB=8，BC=10，求四边形CEFG的面积；

(3)试探究当线段AB与BC满足什么数量关系时，BG=CG，请写出你的探究过程．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）20；（3）

【解析】试题分析：（1）由折叠得到EF=CE，∠FEG=∠CEG，再加上公共边GE，利用SAS可得出△EFG≌△ECG，利用全等三角形的对应边相等可得出GF=CG，再由FG是线段EF旋转得到的，故FG=EF，等量代换可得出四边形EFGC四条边相等，进而确定出此四边形为菱形；（2）连接FC，与GE交于点O，由折叠得到BF=BC=10，连接FC，交GE于O点，在Rt△ABF中，根据勾股定理求得AF =6，即可得FD=4，设EC=x，则DE=8-x，EF=x，在Rt△FDE中利用勾股定理列出方程42+（8-x）2=x2，解方程得EC=5；在Rt△FDC中根据勾股定理求得FC=4 ；在菱形FGCE中FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，在在Rt△FOE中求得EO=，即可得GE=2EO=2，从而根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半即可求得菱形的面积；（3）当线段AB与BC满足时，BG=CG，理由为：在Rt△ABF中，利用特殊角的三角函数值及锐角三角函数定义求出∠ABF的度数，进而确定出∠FBC的度数，再由折叠得到∠FBE=∠EBC，求出∠EBC为30°，可得出∠BEC为60°，再由GC=CE得到△CGE为等边三角形，再由30°所对的直角边EC等于斜边BE的一半，得到GE为BE的一半，即G为BE的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CG与BG相等都为BE的一半．

试题解析：

（1）根据翻折的方法可得：EF=EC，∠FEG=∠CEG，

在△EFG和△ECG中，

∵ ，

∴△EFG≌△ECG（SAS），

∴FG=GC，

∵线段FG是由EF绕F旋转得到的，

∴EF=FG，

∴EF=EC=FG=GC，

∴四边形FGCE是菱形；

（2）连接FC，交GE于O点，

根据折叠可得：BF=BC=10，

∵AB=8，

在Rt△ABF中，

根据勾股定理得：AF= =6，

∴FD=AD-AF=10-6=4，

设EC=x，则DE=8-x，EF=x，

在Rt△FDE中：FD2+DE2=EF2，即42+（8-x）2=x2，

解得：x=5，

在Rt△FDC中：FD2+DC2=CF2，

则：42+82=FC2，

解得：FC=4 ，

∵四边形FGCE是菱形，

∴FO=FC=2，EO=GE，GE⊥FC，

在Rt△FOE中：FO2+OE2=EF2，即（2）2+EO2=52，

解得：EO=，

∴GE=2EO=2，

则S菱形CEFG=×FC×GE=×4×2=20；

（3）当时，BG=CG，理由为：

由折叠可得：BF=BC，∠FBE=∠CBE，

∵在Rt△ABF中， ，

∴cos∠ABF= ，即∠ABF=30°，

又∵∠ABC=90°，

∴∠FBC=60°，EC=BE，

∴∠FBE=∠CBE=30°，

∵∠BCE=90°，

∴∠BEC=60°，

又∵GC=CE，

∴△GCE为等边三角形，

∴GE=CG=CE=BE，

∴G为BE的中点，

则CG=BG=BE．