Question

【题目】如图，在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．

（1）如图1，AE平分∠CAB交BC于E，交CD于F，若DF=2，求AC的长；

（2）将图1中的△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，如图2，P，Q分别为线段AN，BC的中点，连接AC，BN，PQ，求证：BN=PQ；

（3）如图3，将△ADC绕点A顺时针旋转一定角度到△AMN，其中D的对应点是M，C的对应点是N，若B，M，N三点在同一直线上，H为BN中点，连接CH，猜想BM，MN，CH之间的数量关系，请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1）AC＝4+2；（2）见解析；（3）BM﹣MN=2CH，理由见解析

【解析】（1）利用角平分线定理求出FM，再利用等腰直角三角形的性质即可得出CF，最后用AC=CD即可；

（2）先判断出DN：DP=DB：DQ=，再判断出∠PDQ=∠NDB，进而得出，△PDQ∽△NDB即可判断出结论；

（3）先判断出，∠MAC=∠GBC进而得出△ACM≌△BCG，即可得出∠ACM=∠BCG，进而△MCG是直角三角形，再用直角三角形的中线得出MG=2CH，最后等量代换即可．

（1）如图1∵等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，CD为斜边AB上的中线．

∴CD⊥AB，∠ACD=45°

过点F作FM⊥AC，

∵AE平分∠CAB，

∴FM=FD=2

在Rt△CMF中，∠ACD=45°，

∴CF=MF=2，

∴CD=CF+FD=2+2，

∵CD是等腰直角三角形斜边的中线，

∴AC=CD=（2+2）=4+2；

（2）如图2，连接DP，DQ，

∵△ADC绕点D顺时针旋转一定角度得到△ADN，

∴AN=BC，DN=CD=DB，△ADN是等腰直角三角形，

∵△BCD是等腰直角三角形，点Q是BC中点，

∴DQ=BC=×BD=DN，

∵点P是AN中点，

∴DP=AN=BC=DQ，

∴=，

∵∠NDP=∠CDQ=45°，

∴∠PDQ=∠PDN+∠CDN+∠CDQ=90°+∠CDN，

∵∠NDB=∠CDN+∠CDB=90°+∠CDN，

∴∠PDQ=∠NDB，

∵=，

∴△PDQ∽△NDB，

∴=，

∴BN=PQ．

（3）BM﹣MN=2CH．

理由：如图3，在BN上截取BG=BD，连接CG，CM，

∵△ADC绕点A顺时针旋转一定角度到△AMN，

∴MN=AM=AD=CD=DB，

∴MN=AM=BG，

根据三角形的内角和，得∠MAC=∠GBC，

在△ACM和△BCG中，，

∴△ACM≌△BCG，

∴∠ACM=∠BCG，

∴∠MCG=∠ACM+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°，

∴△MCG是直角三角形，

∵H为BN中点，

∴BH=NH，

∵BG=MN，

∴HG=HM，

在Rt△MCG中，HG=HM，

∴MG=2CH，

∴BM=BG+MG=MN+2CH，

∴BM﹣MN=2CH．