【题目】如图,点在以为直径的上,的平分线交于点,过点作的平行线交的延长线于点.
(1)求证:是的切线;
(2)若,,求的长度.
【答案】(1)见解析;(2)
【解析】
(1)连接OD,由为的直径得到∠ACB=90,根据CD平分∠ACB及圆周角定理得到∠AOD=90,再根据DE∥AB推出OD⊥DE ,即可得到是的切线;
(2)过点C作CH⊥AB于H,CD交AB于M,利用勾股定理求出AB,再利用面积法求出CH,求出OH,根据△CHM∽△DOM求出HM得到AM,再利用平行线证明△CAM∽△CED,即可求出DE.
(1)如图,连接OD,
∵为的直径,
∴∠ACB=90,
∵CD平分∠ACB,
∴∠ACD=45,
∴∠AOD=90,
即OD⊥AB,
∵DE∥AB,
∴OD⊥DE ,
∴是的切线;
(2)过点C作CH⊥AB于H,CD交AB于M,
∵∠ACB=90,,,
∴AB=,
∵S△ABC=,
∴CH=,
∴AH=,
∴OH=OA-AH=5-3.6=1.4,
∵∠CHM=∠DOM=90,∠HMC=∠DMO,
∴△CHM∽△DOM,
∴
∴=,,
∴HM=,
∴AM=AH+HM=,
∵AB∥DE,
∴△CAM∽△CED,
∴,
∴DE=.
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【题目】如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径的⊙O交AC于点D,点E为BC的中点,连接DE.
(1)求证:DE是⊙O的切线;
(2)求证:4DE2=CDAC.
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【题目】八(1)班为了配合学校体育文化月活动的开展,同学们从捐助的班费中拿出一部分钱来购买羽毛球拍和跳绳。已知购买一副羽毛球拍比购买一根跳绳多20元。若用200元购买羽毛球拍和用80元购买跳绳,则购买羽毛球拍的副数是购买跳绳根数的一半。
(1)求购买一副羽毛球拍、一根跳绳各需多少元?
(2)双11期间,商店老板给予优惠,购买一副羽毛球拍赠送一根跳绳,如果八(1)班需要的跳绳根数比羽毛球拍的副数的倍还多,且该班购买羽毛球拍和跳绳的总费用不超过元,那么八(1)班最多可购买多少副羽毛球拍?
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【题目】一个盒子里有标号分别为1,2,3,4的四个球,这些球除标号数字外都相同.
(1)从盒中随机摸出一个小球,求摸到标号数字为奇数的球的概率;
(2)甲、乙两人用这四个小球玩摸球游戏,规则是:甲从盒中随机摸出一个小球,记下标号数字后放回盒里,充分摇匀后,乙再从盒中随机摸出一个小球,并记下标号数字.若两次摸到球的标号数字同为奇数或同为偶数,则判甲赢;若两次摸到球的标号数字为一奇一偶,则判乙赢.请用列表法或画树状图的方法说明这个游戏对甲、乙两人是否公平.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm. 点P从点A出发,沿AB边以2 cm/s的速度向点B匀速移动;点Q从点B出发,沿BC边以1 cm/s的速度向点C匀速移动, 当一个运动点到达终点时,另一个运动点也随之停止运动,设运动的时间为t(s).
(1)当PQ∥AC时,求t的值;
(2)当t为何值时,△PBQ的面积等于cm 2.
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,AE⊥BC交CB延长线于E,CF∥AE交AD延长线于点F.
(1)求证:四边形AECF是矩形;
(2)连接OE,若AE=4,AD=5,求OE的长.
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【题目】当今,越来越多的青少年在观看影片《流浪地球》后,更加喜欢同名科幻小说,该小说销量也急剧上升.书店为满足广大顾客需求,订购该科幻小说若干本,每本进价为20元.根据以往经验:当销售单价是25元时,每天的销售量是250本;销售单价每上涨1元,每天的销售量就减少10本,书店要求每本书的利润不低于10元且不高于18元.
(1)直接写出书店销售该科幻小说时每天的销售量(本)与销售单价(元)之间的函数关系式及自变量的取值范围.
(2)书店决定每销售1本该科幻小说,就捐赠元给困难职工,每天扣除捐赠后可获得最大利润为1960元,求的值.
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【题目】在下列命题中:(1)抛物线y=2(x﹣3)2﹣6顶点坐标是(3,﹣6);(2)一元二次方程x2﹣2x+=0的两根之和等于2;(3)已知抛物线y=ax2+bx+c(a<0)的对称轴为x=﹣2,与x轴的一个交点为(2,0).若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=p(p>0)有整数根,则p的值有4个;(4)二次函数y=﹣x2﹣2x+c在﹣3≤x≤2的范围内有最小值﹣5,则c的值是﹣2.其中正确结论的个数是( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
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【题目】已知,如图,矩形ABCD中,AD=6,DC=7,菱形EFGH的三个顶点E,G,H分别在矩形ABCD的边AB,CD,DA上,AH=2,连接CF.
(1)若DG=2,求证四边形EFGH为正方形;
(2)若DG=6,求△FCG的面积;
(3)当DG为何值时,△FCG的面积最小.
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