Question

【题目】如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E,CF∥AE交AD延长线于点F．

（1）求证：四边形AECF是矩形；

（2）连接OE，若AE=4，AD=5，求OE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）OE=．

【解析】

（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；

（2）根据勾股定理得到BE=3，AC=，然后根据直角三角形斜边的中线性质可得到结论．

（1）证明：∵菱形ABCD，

∴AD∥BC．

∵CF∥AE，

∴四边形AECF是平行四边形．

∵AE⊥BC，

∴平行四边形AECF是矩形．

（2）解：∵AE=4，AD=5，

∴AB=5，BE=3．

∵AB=BC=5，

∴CE=8．

∴AC=．

∵对角线AC，BD交于点O，

∴AO=CO=．

∴OE=．