Question

【题目】已知，如图，矩形ABCD中，AD＝6，DC＝7，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连接CF．

（1）若DG＝2，求证四边形EFGH为正方形；

（2）若DG＝6，求△FCG的面积；

（3）当DG为何值时，△FCG的面积最小．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）S△FCG=1；（3）当DG＝时，△FCG的面积最小为（7-）．

【解析】

（1）利用菱形和矩形的性质得到∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，进而利用HL证得

Rt△AHE≌Rt△DGH，根据全等三角形的性质得到∠DHG＝∠HEA，证得∠EHG＝90°，即可得证；

（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，由于AB∥CD，可得∠AEG＝∠MGE，同理有∠HEG＝∠FGE，进而得到∠AEH＝∠MGF，再结合∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，可证△AHE≌△MFG，从而有FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，进而可求三角形面积；

（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，利用勾股定理可得HE2≤53，在Rt△DHG中，再利用勾股定理可得x2+16≤53，进而可求x≤，从而得到当DG＝时，△FCG的面积最小.

（1）∵四边形ABCD为矩形，四边形HEFG为菱形，

∴∠D＝∠A＝90°，HG＝HE，又AH＝DG＝2，

∴Rt△AHE≌Rt△DGH（HL），

∴∠DHG＝∠HEA，

∵∠AHE+∠HEA＝90°，

∴∠AHE+∠DHG＝90°，

∴∠EHG＝90°，

∴四边形HEFG为正方形；

（2）过F作FM⊥DC，交DC延长线于M，连接GE，

∵AB∥CD，

∴∠AEG＝∠MGE，

∵HE∥GF，

∴∠HEG＝∠FGE，

∴∠AEH＝∠MGF，

在△AHE和△MFG中，∠A＝∠M＝90°，HE＝FG，

∴△AHE≌△MFG，

∴FM＝HA＝2，即无论菱形EFGH如何变化，点F到直线CD的距离始终为定值2，

因此；

（3）设DG＝x，则由第（2）小题得，S△FCG＝7﹣x，在△AHE中，AE≤AB＝7，

∴HE2≤53，

∴x2+16≤53，

∴x≤

∴S△FCG的最小值为，此时DG＝，

∴当DG＝时，△FCG的面积最小为（）．