Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且点C为弧BF的中点，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF交AF延长线于点D．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）判断线段AB、AF与AD之间的数量关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）AF+AB=2AD ，理由见解析.

【解析】

（1）由=，OA=OC知∠DAC=∠BAC=∠ACO，由CD⊥AF知∠DAC+∠DCA=90°，从而得∠DCO=90°，从而得证；

（2）作CE⊥AB，连接CF，CB，先证Rt△DAC≌Rt△EAC得AD=AE，再证Rt△CDF≌Rt△CEB得DF=EB，根据AF=AD﹣CF，AB=AE+BE可得答案．

（1）连接OC．

∵=，OA=OC，∴∠DAC=∠BAC=∠ACO．

∵CD⊥AF于D，∴∠DAC+∠DCA=90°，∴∠DCA+∠OCA=90°，即∠DCO=90°，∴CD为⊙O的切线．

（2）AF+AB=2AD．理由如下：

过C点作CE⊥AB于E，连接CF，CB，则∠CDA=∠CEA=90°．

∵∠DAC=∠EAC，AC=AC，∴Rt△DAC≌Rt△EAC（AAS），CD=CE，AD=AE．

又∵∠DFC+∠AFC=180°，∠AFC+∠B=180°，∴∠DFC=∠B，∴Rt△CDF≌Rt△CEB（AAS），∴DF=EB，∴AF=AD﹣CF，AB=AE+BE，∴AF+AB=AD+AE=2AD．